Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49891 / 57493
↖ ↑ ↗
← N 21.562947°
W 42.970276°		 ← 283.99 m → N 21.562947°
W 42.967529°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
N 21.560393°
W 42.970276°		 ← 284 m →
80 660 m²		 N 21.560393°
W 42.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380641937255859 y=0.438640594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380641937255859 × 217)
    floor (0.380641937255859 × 131072)
    floor (49891.5)     		tx = 49891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438640594482422 × 217)
    floor (0.438640594482422 × 131072)
    floor (57493.5)     		ty = 57493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49891 / 57493 ti = "17/49891/57493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49891/57493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49891 ÷ 217
    49891 ÷ 131072     		x = 0.380638122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57493 ÷ 217
    57493 ÷ 131072     		y = 0.438636779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380638122558594 × 2 - 1) × π
    -0.238723754882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.74997279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438636779785156 × 2 - 1) × π
    0.122726440429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.385556483644112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74997279} λ = -0.74997279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385556483644112))-π/2
    2×atan(1.4704323653671)-π/2
    2×0.97357038021866-π/2
    1.94714076043732-1.57079632675     		φ = 0.37634443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74997279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.970276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37634443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.562947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49891 KachelY 57493 -0.74997279 0.37634443 -42.970276 21.562947
    Oben rechts KachelX + 1 49892 KachelY 57493 -0.74992486 0.37634443 -42.967529 21.562947
    Unten links KachelX 49891 KachelY + 1 57494 -0.74997279 0.37629985 -42.970276 21.560393
    Unten rechts KachelX + 1 49892 KachelY + 1 57494 -0.74992486 0.37629985 -42.967529 21.560393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37634443-0.37629985) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dl = 284.019180000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37634443-0.37629985) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dr = 284.019180000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74997279--0.74992486) × cos(0.37634443) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.930014353341952 × 6371000     		do = 283.991070865152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74997279--0.74992486) × cos(0.37629985) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.930030736602061 × 6371000     		du = 283.996073690717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37634443)-sin(0.37629985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930014353341952-0.930030736602061)×R²
    abs(-0.74992486--0.74997279)×1.63832601086655e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.63832601086655e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.63832601086655e-05×40589641000000     		ar = 80659.6215370792m²