Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4989 / 5191
↖ ↑ ↗
← S 43.293200°
E 39.243164°		 ← 3 556.65 m → S 43.293200°
E 39.287109°		 →
↑
3 555.72 m
↓
↑
3 555.72 m
↓
S 43.325178°
E 39.243164°		 ← 3 554.78 m →
12 643 137 m²		 S 43.325178°
E 39.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60906982421875 y=0.63372802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60906982421875 × 213)
    floor (0.60906982421875 × 8192)
    floor (4989.5)     		tx = 4989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63372802734375 × 213)
    floor (0.63372802734375 × 8192)
    floor (5191.5)     		ty = 5191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4989 / 5191 ti = "13/4989/5191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4989/5191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4989 ÷ 213
    4989 ÷ 8192     		x = 0.6090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5191 ÷ 213
    5191 ÷ 8192     		y = 0.6336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6090087890625 × 2 - 1) × π
    0.218017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68492242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839854481343384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68492242} λ = 0.68492242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839854481343384))-π/2
    2×atan(0.4317733499356)-π/2
    2×0.407593718805097-π/2
    0.815187437610194-1.57079632675     		φ = -0.75560889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68492242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75560889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.293200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4989 KachelY 5191 0.68492242 -0.75560889 39.243164 -43.293200
    Oben rechts KachelX + 1 4990 KachelY 5191 0.68568941 -0.75560889 39.287109 -43.293200
    Unten links KachelX 4989 KachelY + 1 5192 0.68492242 -0.75616700 39.243164 -43.325178
    Unten rechts KachelX + 1 4990 KachelY + 1 5192 0.68568941 -0.75616700 39.287109 -43.325178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75560889--0.75616700) × R
    0.000558110000000056 × 6371000     		dl = 3555.71881000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75560889--0.75616700) × R
    0.000558110000000056 × 6371000     		dr = 3555.71881000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68492242-0.68568941) × cos(-0.75560889) × R
    0.000766990000000023 × 0.727854142788759 × 6371000     		do = 3556.65438483608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68492242-0.68568941) × cos(-0.75616700) × R
    0.000766990000000023 × 0.727471315575443 × 6371000     		du = 3554.78370222698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75560889)-sin(-0.75616700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727854142788759-0.727471315575443)×R²
    abs(0.68568941-0.68492242)×0.000382827213316506×R²
    0.000766990000000023×0.000382827213316506×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382827213316506×40589641000000     		ar = 12643137.4143438m²