Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4987 / 5253
↖ ↑ ↗
← S 45.243953°
E 39.155273°		 ← 3 440.53 m → S 45.243953°
E 39.199219°		 →
↑
3 439.64 m
↓
↑
3 439.64 m
↓
S 45.274887°
E 39.155273°		 ← 3 438.66 m →
11 830 957 m²		 S 45.274887°
E 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60882568359375 y=0.64129638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60882568359375 × 213)
    floor (0.60882568359375 × 8192)
    floor (4987.5)     		tx = 4987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64129638671875 × 213)
    floor (0.64129638671875 × 8192)
    floor (5253.5)     		ty = 5253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4987 / 5253 ti = "13/4987/5253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4987/5253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4987 ÷ 213
    4987 ÷ 8192     		x = 0.6087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5253 ÷ 213
    5253 ÷ 8192     		y = 0.6412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6087646484375 × 2 - 1) × π
    0.217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68338844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.88740788576648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68338844} λ = 0.68338844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88740788576648))-π/2
    2×atan(0.411721600176481)-π/2
    2×0.390570186484511-π/2
    0.781140372969022-1.57079632675     		φ = -0.78965595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68338844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.155273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78965595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.243953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4987 KachelY 5253 0.68338844 -0.78965595 39.155273 -45.243953
    Oben rechts KachelX + 1 4988 KachelY 5253 0.68415543 -0.78965595 39.199219 -45.243953
    Unten links KachelX 4987 KachelY + 1 5254 0.68338844 -0.79019584 39.155273 -45.274887
    Unten rechts KachelX + 1 4988 KachelY + 1 5254 0.68415543 -0.79019584 39.199219 -45.274887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78965595--0.79019584) × R
    0.000539889999999987 × 6371000     		dl = 3439.63918999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78965595--0.79019584) × R
    0.000539889999999987 × 6371000     		dr = 3439.63918999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68338844-0.68415543) × cos(-0.78965595) × R
    0.000766990000000023 × 0.704089671033564 × 6371000     		do = 3440.52945306392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68338844-0.68415543) × cos(-0.79019584) × R
    0.000766990000000023 × 0.703706186570858 × 6371000     		du = 3438.65555881009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78965595)-sin(-0.79019584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704089671033564-0.703706186570858)×R²
    abs(0.68415543-0.68338844)×0.000383484462705641×R²
    0.000766990000000023×0.000383484462705641×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383484462705641×40589641000000     		ar = 11830957.4684265m²