Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49867 / 84423
↖ ↑ ↗
← S 45.964515°
W 43.036194°		 ← 212.30 m → S 45.964515°
W 43.033447°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
S 45.966424°
W 43.036194°		 ← 212.30 m →
45 067 m²		 S 45.966424°
W 43.033447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380458831787109 y=0.644100189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380458831787109 × 217)
    floor (0.380458831787109 × 131072)
    floor (49867.5)     		tx = 49867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644100189208984 × 217)
    floor (0.644100189208984 × 131072)
    floor (84423.5)     		ty = 84423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49867 / 84423 ti = "17/49867/84423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49867/84423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49867 ÷ 217
    49867 ÷ 131072     		x = 0.380455017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84423 ÷ 217
    84423 ÷ 131072     		y = 0.644096374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380455017089844 × 2 - 1) × π
    -0.239089965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75112328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644096374511719 × 2 - 1) × π
    -0.288192749023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.905384223124001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75112328} λ = -0.75112328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.905384223124001))-π/2
    2×atan(0.404386480613047)-π/2
    2×0.384282096870792-π/2
    0.768564193741584-1.57079632675     		φ = -0.80223213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75112328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.036194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80223213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.964515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49867 KachelY 84423 -0.75112328 -0.80223213 -43.036194 -45.964515
    Oben rechts KachelX + 1 49868 KachelY 84423 -0.75107534 -0.80223213 -43.033447 -45.964515
    Unten links KachelX 49867 KachelY + 1 84424 -0.75112328 -0.80226545 -43.036194 -45.966424
    Unten rechts KachelX + 1 49868 KachelY + 1 84424 -0.75107534 -0.80226545 -43.033447 -45.966424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80223213--0.80226545) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80223213--0.80226545) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75112328--0.75107534) × cos(-0.80223213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695103742989105 × 6371000     		do = 212.302575079078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75112328--0.75107534) × cos(-0.80226545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695079788540627 × 6371000     		du = 212.295258773925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80223213)-sin(-0.80226545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695103742989105-0.695079788540627)×R²
    abs(-0.75107534--0.75112328)×2.39544484786913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39544484786913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39544484786913e-05×40589641000000     		ar = 45067.179243399m²