Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49867 / 84421
↖ ↑ ↗
← S 45.960697°
W 43.036194°		 ← 212.32 m → S 45.960697°
W 43.033447°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
S 45.962606°
W 43.036194°		 ← 212.31 m →
45 070 m²		 S 45.962606°
W 43.033447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380458831787109 y=0.644084930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380458831787109 × 217)
    floor (0.380458831787109 × 131072)
    floor (49867.5)     		tx = 49867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644084930419922 × 217)
    floor (0.644084930419922 × 131072)
    floor (84421.5)     		ty = 84421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49867 / 84421 ti = "17/49867/84421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49867/84421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49867 ÷ 217
    49867 ÷ 131072     		x = 0.380455017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84421 ÷ 217
    84421 ÷ 131072     		y = 0.644081115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380455017089844 × 2 - 1) × π
    -0.239089965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75112328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644081115722656 × 2 - 1) × π
    -0.288162231445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.90528834932476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75112328} λ = -0.75112328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90528834932476))-π/2
    2×atan(0.404425252539881)-π/2
    2×0.384315419137364-π/2
    0.768630838274727-1.57079632675     		φ = -0.80216549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75112328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.036194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80216549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.960697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49867 KachelY 84421 -0.75112328 -0.80216549 -43.036194 -45.960697
    Oben rechts KachelX + 1 49868 KachelY 84421 -0.75107534 -0.80216549 -43.033447 -45.960697
    Unten links KachelX 49867 KachelY + 1 84422 -0.75112328 -0.80219881 -43.036194 -45.962606
    Unten rechts KachelX + 1 49868 KachelY + 1 84422 -0.75107534 -0.80219881 -43.033447 -45.962606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80216549--0.80219881) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80216549--0.80219881) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75112328--0.75107534) × cos(-0.80216549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695151649570877 × 6371000     		do = 212.317206982267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75112328--0.75107534) × cos(-0.80219881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695127696665864 × 6371000     		du = 212.309891148528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80216549)-sin(-0.80219881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695151649570877-0.695127696665864)×R²
    abs(-0.75107534--0.75112328)×2.39529050126697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39529050126697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39529050126697e-05×40589641000000     		ar = 45070.2853789797m²