Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49866 / 84422
↖ ↑ ↗
← S 45.962606°
W 43.038941°		 ← 212.31 m → S 45.962606°
W 43.036194°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
S 45.964515°
W 43.038941°		 ← 212.30 m →
45 069 m²		 S 45.964515°
W 43.036194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380451202392578 y=0.644092559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380451202392578 × 217)
    floor (0.380451202392578 × 131072)
    floor (49866.5)     		tx = 49866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644092559814453 × 217)
    floor (0.644092559814453 × 131072)
    floor (84422.5)     		ty = 84422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49866 / 84422 ti = "17/49866/84422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49866/84422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49866 ÷ 217
    49866 ÷ 131072     		x = 0.380447387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84422 ÷ 217
    84422 ÷ 131072     		y = 0.644088745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380447387695312 × 2 - 1) × π
    -0.239105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75117122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644088745117188 × 2 - 1) × π
    -0.288177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.905336286224381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75117122} λ = -0.75117122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.905336286224381))-π/2
    2×atan(0.404405866111812)-π/2
    2×0.384298757716997-π/2
    0.768597515433993-1.57079632675     		φ = -0.80219881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75117122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.038941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80219881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.962606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49866 KachelY 84422 -0.75117122 -0.80219881 -43.038941 -45.962606
    Oben rechts KachelX + 1 49867 KachelY 84422 -0.75112328 -0.80219881 -43.036194 -45.962606
    Unten links KachelX 49866 KachelY + 1 84423 -0.75117122 -0.80223213 -43.038941 -45.964515
    Unten rechts KachelX + 1 49867 KachelY + 1 84423 -0.75112328 -0.80223213 -43.036194 -45.964515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80219881--0.80223213) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80219881--0.80223213) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75117122--0.75112328) × cos(-0.80219881) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695127696665864 × 6371000     		do = 212.30989114902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75117122--0.75112328) × cos(-0.80223213) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695103742989105 × 6371000     		du = 212.30257507957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80219881)-sin(-0.80223213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695127696665864-0.695103742989105)×R²
    abs(-0.75112328--0.75117122)×2.39536767591142e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39536767591142e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39536767591142e-05×40589641000000     		ar = 45068.7323364618m²