Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49866 / 50370
↖ ↑ ↗
← S 69.041072°
E 93.922119°		 ← 218.48 m → S 69.041072°
E 93.927612°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
S 69.043037°
E 93.922119°		 ← 218.46 m →
47 741 m²		 S 69.043037°
E 93.927612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760902404785156 y=0.768592834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760902404785156 × 216)
    floor (0.760902404785156 × 65536)
    floor (49866.5)     		tx = 49866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768592834472656 × 216)
    floor (0.768592834472656 × 65536)
    floor (50370.5)     		ty = 50370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49866 / 50370 ti = "16/49866/50370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49866/50370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49866 ÷ 216
    49866 ÷ 65536     		x = 0.760894775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50370 ÷ 216
    50370 ÷ 65536     		y = 0.768585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760894775390625 × 2 - 1) × π
    0.52178955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63925022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.53717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68757061422446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63925022} λ = 1.63925022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68757061422446))-π/2
    2×atan(0.184968338050393)-π/2
    2×0.182901151882155-π/2
    0.365802303764311-1.57079632675     		φ = -1.20499402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63925022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.922119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20499402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.041072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49866 KachelY 50370 1.63925022 -1.20499402 93.922119 -69.041072
    Oben rechts KachelX + 1 49867 KachelY 50370 1.63934609 -1.20499402 93.927612 -69.041072
    Unten links KachelX 49866 KachelY + 1 50371 1.63925022 -1.20502832 93.922119 -69.043037
    Unten rechts KachelX + 1 49867 KachelY + 1 50371 1.63934609 -1.20502832 93.927612 -69.043037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20499402--1.20502832) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dl = 218.525300000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20499402--1.20502832) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dr = 218.525300000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63925022-1.63934609) × cos(-1.20499402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35769863335392 × 6371000     		do = 218.477950598284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63925022-1.63934609) × cos(-1.20502832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357666602531746 × 6371000     		du = 218.458386563837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20499402)-sin(-1.20502832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35769863335392-0.357666602531746)×R²
    abs(1.63934609-1.63925022)×3.20308221734567e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20308221734567e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20308221734567e-05×40589641000000     		ar = 47740.8220843534m²