Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49865 / 50375
↖ ↑ ↗
← S 69.050894°
E 93.916626°		 ← 218.38 m → S 69.050894°
E 93.922119°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 69.052858°
E 93.916626°		 ← 218.36 m →
47 692 m²		 S 69.052858°
E 93.922119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760887145996094 y=0.768669128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760887145996094 × 216)
    floor (0.760887145996094 × 65536)
    floor (49865.5)     		tx = 49865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768669128417969 × 216)
    floor (0.768669128417969 × 65536)
    floor (50375.5)     		ty = 50375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49865 / 50375 ti = "16/49865/50375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49865/50375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49865 ÷ 216
    49865 ÷ 65536     		x = 0.760879516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50375 ÷ 216
    50375 ÷ 65536     		y = 0.768661499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760879516601562 × 2 - 1) × π
    0.521759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63915435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768661499023438 × 2 - 1) × π
    -0.537322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68804998322066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63915435} λ = 1.63915435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68804998322066))-π/2
    2×atan(0.184879691212823)-π/2
    2×0.182815436252688-π/2
    0.365630872505377-1.57079632675     		φ = -1.20516545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63915435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.916626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20516545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.050894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49865 KachelY 50375 1.63915435 -1.20516545 93.916626 -69.050894
    Oben rechts KachelX + 1 49866 KachelY 50375 1.63925022 -1.20516545 93.922119 -69.050894
    Unten links KachelX 49865 KachelY + 1 50376 1.63915435 -1.20519973 93.916626 -69.052858
    Unten rechts KachelX + 1 49866 KachelY + 1 50376 1.63925022 -1.20519973 93.922119 -69.052858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20516545--1.20519973) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20516545--1.20519973) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63915435-1.63925022) × cos(-1.20516545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357538540408406 × 6371000     		do = 218.3801677851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63915435-1.63925022) × cos(-1.20519973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357506526161724 × 6371000     		du = 218.360613874762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20516545)-sin(-1.20519973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357538540408406-0.357506526161724)×R²
    abs(1.63925022-1.63915435)×3.20142466811446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20142466811446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20142466811446e-05×40589641000000     		ar = 47691.6304168306m²