Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49864 / 50376
↖ ↑ ↗
← S 69.052858°
E 93.911133°		 ← 218.38 m → S 69.052858°
E 93.916626°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 69.054822°
E 93.911133°		 ← 218.36 m →
47 692 m²		 S 69.054822°
E 93.916626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760871887207031 y=0.768684387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760871887207031 × 216)
    floor (0.760871887207031 × 65536)
    floor (49864.5)     		tx = 49864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768684387207031 × 216)
    floor (0.768684387207031 × 65536)
    floor (50376.5)     		ty = 50376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49864 / 50376 ti = "16/49864/50376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49864/50376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49864 ÷ 216
    49864 ÷ 65536     		x = 0.7608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50376 ÷ 216
    50376 ÷ 65536     		y = 0.7686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7608642578125 × 2 - 1) × π
    0.521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63905847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6881458570199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63905847} λ = 1.63905847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6881458570199))-π/2
    2×atan(0.184861966944084)-π/2
    2×0.182798297731034-π/2
    0.365596595462068-1.57079632675     		φ = -1.20519973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63905847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20519973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.052858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49864 KachelY 50376 1.63905847 -1.20519973 93.911133 -69.052858
    Oben rechts KachelX + 1 49865 KachelY 50376 1.63915435 -1.20519973 93.916626 -69.052858
    Unten links KachelX 49864 KachelY + 1 50377 1.63905847 -1.20523401 93.911133 -69.054822
    Unten rechts KachelX + 1 49865 KachelY + 1 50377 1.63915435 -1.20523401 93.916626 -69.054822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20519973--1.20523401) × R
    3.42800000001642e-05 × 6371000     		dl = 218.397880001046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20519973--1.20523401) × R
    3.42800000001642e-05 × 6371000     		dr = 218.397880001046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63905847-1.63915435) × cos(-1.20519973) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.357506526161724 × 6371000     		do = 218.383390615911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63905847-1.63915435) × cos(-1.20523401) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.357474511494931 × 6371000     		du = 218.363834409318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20519973)-sin(-1.20523401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357506526161724-0.357474511494931)×R²
    abs(1.63915435-1.63905847)×3.2014666793867e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.2014666793867e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.2014666793867e-05×40589641000000     		ar = 47692.3340255229m²