Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49863 / 58185
↖ ↑ ↗
← N 19.784796°
W 43.047180°		 ← 287.40 m → N 19.784796°
W 43.044434°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.782211°
W 43.047180°		 ← 287.40 m →
82 597 m²		 N 19.782211°
W 43.044434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380428314208984 y=0.443920135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380428314208984 × 217)
    floor (0.380428314208984 × 131072)
    floor (49863.5)     		tx = 49863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443920135498047 × 217)
    floor (0.443920135498047 × 131072)
    floor (58185.5)     		ty = 58185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49863 / 58185 ti = "17/49863/58185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49863/58185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49863 ÷ 217
    49863 ÷ 131072     		x = 0.380424499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58185 ÷ 217
    58185 ÷ 131072     		y = 0.443916320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380424499511719 × 2 - 1) × π
    -0.239151000976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.75131503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443916320800781 × 2 - 1) × π
    0.112167358398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.352384149107033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75131503} λ = -0.75131503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352384149107033))-π/2
    2×atan(1.42245485353758)-π/2
    2×0.958053077228269-π/2
    1.91610615445654-1.57079632675     		φ = 0.34530983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75131503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.047180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34530983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.784796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49863 KachelY 58185 -0.75131503 0.34530983 -43.047180 19.784796
    Oben rechts KachelX + 1 49864 KachelY 58185 -0.75126709 0.34530983 -43.044434 19.784796
    Unten links KachelX 49863 KachelY + 1 58186 -0.75131503 0.34526472 -43.047180 19.782211
    Unten rechts KachelX + 1 49864 KachelY + 1 58186 -0.75126709 0.34526472 -43.044434 19.782211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34530983-0.34526472) × R
    4.51099999999593e-05 × 6371000     		dl = 287.395809999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34530983-0.34526472) × R
    4.51099999999593e-05 × 6371000     		dr = 287.395809999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75131503--0.75126709) × cos(0.34530983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940970623962584 × 6371000     		do = 287.396649141845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75131503--0.75126709) × cos(0.34526472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940985892209437 × 6371000     		du = 287.401312457439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34530983)-sin(0.34526472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940970623962584-0.940985892209437)×R²
    abs(-0.75126709--0.75131503)×1.52682468531617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52682468531617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52682468531617e-05×40589641000000     		ar = 82597.2628940573m²