Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49863 / 50377
↖ ↑ ↗
← S 69.054822°
E 93.905640°		 ← 218.34 m → S 69.054822°
E 93.911133°		 →
↑
218.33 m
↓
↑
218.33 m
↓
S 69.056786°
E 93.905640°		 ← 218.32 m →
47 669 m²		 S 69.056786°
E 93.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760856628417969 y=0.768699645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760856628417969 × 216)
    floor (0.760856628417969 × 65536)
    floor (49863.5)     		tx = 49863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768699645996094 × 216)
    floor (0.768699645996094 × 65536)
    floor (50377.5)     		ty = 50377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49863 / 50377 ti = "16/49863/50377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49863/50377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49863 ÷ 216
    49863 ÷ 65536     		x = 0.760848999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50377 ÷ 216
    50377 ÷ 65536     		y = 0.768692016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760848999023438 × 2 - 1) × π
    0.521697998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63896260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768692016601562 × 2 - 1) × π
    -0.537384033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68824173081914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63896260} λ = 1.63896260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68824173081914))-π/2
    2×atan(0.184844244374557)-π/2
    2×0.182781160743852-π/2
    0.365562321487705-1.57079632675     		φ = -1.20523401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63896260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.905640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20523401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.054822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49863 KachelY 50377 1.63896260 -1.20523401 93.905640 -69.054822
    Oben rechts KachelX + 1 49864 KachelY 50377 1.63905847 -1.20523401 93.911133 -69.054822
    Unten links KachelX 49863 KachelY + 1 50378 1.63896260 -1.20526828 93.905640 -69.056786
    Unten rechts KachelX + 1 49864 KachelY + 1 50378 1.63905847 -1.20526828 93.911133 -69.056786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20523401--1.20526828) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dl = 218.334170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20523401--1.20526828) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dr = 218.334170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63896260-1.63905847) × cos(-1.20523401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357474511494931 × 6371000     		do = 218.341059707823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63896260-1.63905847) × cos(-1.20526828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357442505747413 × 6371000     		du = 218.32151098867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20523401)-sin(-1.20526828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357474511494931-0.357442505747413)×R²
    abs(1.63905847-1.63896260)×3.20057475171054e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20057475171054e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20057475171054e-05×40589641000000     		ar = 47669.1799763901m²