Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4986 / 5207
↖ ↑ ↗
← S 43.802819°
E 39.111328°		 ← 3 526.71 m → S 43.802819°
E 39.155273°		 →
↑
3 525.78 m
↓
↑
3 525.78 m
↓
S 43.834527°
E 39.111328°		 ← 3 524.84 m →
12 431 086 m²		 S 43.834527°
E 39.155273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60870361328125 y=0.63568115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60870361328125 × 213)
    floor (0.60870361328125 × 8192)
    floor (4986.5)     		tx = 4986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63568115234375 × 213)
    floor (0.63568115234375 × 8192)
    floor (5207.5)     		ty = 5207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4986 / 5207 ti = "13/4986/5207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4986/5207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4986 ÷ 213
    4986 ÷ 8192     		x = 0.608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5207 ÷ 213
    5207 ÷ 8192     		y = 0.6356201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608642578125 × 2 - 1) × π
    0.21728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68262145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.271240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852126327646118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68262145} λ = 0.68262145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852126327646118))-π/2
    2×atan(0.426507073307081)-π/2
    2×0.403146459255448-π/2
    0.806292918510896-1.57079632675     		φ = -0.76450341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68262145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76450341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.802819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4986 KachelY 5207 0.68262145 -0.76450341 39.111328 -43.802819
    Oben rechts KachelX + 1 4987 KachelY 5207 0.68338844 -0.76450341 39.155273 -43.802819
    Unten links KachelX 4986 KachelY + 1 5208 0.68262145 -0.76505682 39.111328 -43.834527
    Unten rechts KachelX + 1 4987 KachelY + 1 5208 0.68338844 -0.76505682 39.155273 -43.834527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76450341--0.76505682) × R
    0.000553409999999976 × 6371000     		dl = 3525.77510999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76450341--0.76505682) × R
    0.000553409999999976 × 6371000     		dr = 3525.77510999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68262145-0.68338844) × cos(-0.76450341) × R
    0.000766990000000023 × 0.721726175423558 × 6371000     		do = 3526.71011342469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68262145-0.68338844) × cos(-0.76505682) × R
    0.000766990000000023 × 0.721343006319873 × 6371000     		du = 3524.83776017059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76450341)-sin(-0.76505682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721726175423558-0.721343006319873)×R²
    abs(0.68338844-0.68262145)×0.000383169103684966×R²
    0.000766990000000023×0.000383169103684966×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383169103684966×40589641000000     		ar = 12431086.3071122m²