Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4986 / 2430
↖ ↑ ↗
← N 77.475562°
W 70.444336°		 ← 529.83 m → N 77.475562°
W 70.422363°		 →
↑
529.88 m
↓
↑
529.88 m
↓
N 77.470796°
W 70.444336°		 ← 530.02 m →
280 795 m²		 N 77.470796°
W 70.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304351806640625 y=0.148345947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304351806640625 × 214)
    floor (0.304351806640625 × 16384)
    floor (4986.5)     		tx = 4986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148345947265625 × 214)
    floor (0.148345947265625 × 16384)
    floor (2430.5)     		ty = 2430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4986 / 2430 ti = "14/4986/2430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4986/2430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4986 ÷ 214
    4986 ÷ 16384     		x = 0.3043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2430 ÷ 214
    2430 ÷ 16384     		y = 0.1483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.22948560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1483154296875 × 2 - 1) × π
    0.703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20969932488611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22948560} λ = -1.22948560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20969932488611))-π/2
    2×atan(9.11297593598989)-π/2
    2×1.46149998545261-π/2
    2.92299997090521-1.57079632675     		φ = 1.35220364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22948560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35220364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.475562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4986 KachelY 2430 -1.22948560 1.35220364 -70.444336 77.475562
    Oben rechts KachelX + 1 4987 KachelY 2430 -1.22910211 1.35220364 -70.422363 77.475562
    Unten links KachelX 4986 KachelY + 1 2431 -1.22948560 1.35212047 -70.444336 77.470796
    Unten rechts KachelX + 1 4987 KachelY + 1 2431 -1.22910211 1.35212047 -70.422363 77.470796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35220364-1.35212047) × R
    8.31699999999103e-05 × 6371000     		dl = 529.876069999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35220364-1.35212047) × R
    8.31699999999103e-05 × 6371000     		dr = 529.876069999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22948560--1.22910211) × cos(1.35220364) × R
    0.000383490000000153 × 0.216856014061769 × 6371000     		do = 529.825820856373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22948560--1.22910211) × cos(1.35212047) × R
    0.000383490000000153 × 0.216937204165086 × 6371000     		du = 530.024185717598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35220364)-sin(1.35212047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216856014061769-0.216937204165086)×R²
    abs(-1.22910211--1.22948560)×8.1190103316614e-05×R²
    0.000383490000000153×8.1190103316614e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.1190103316614e-05×40589641000000     		ar = 280794.578297533m²