Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49859 / 50367
↖ ↑ ↗
← S 69.035177°
E 93.883667°		 ← 218.56 m → S 69.035177°
E 93.889160°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
S 69.037142°
E 93.883667°		 ← 218.54 m →
47 759 m²		 S 69.037142°
E 93.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760795593261719 y=0.768547058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760795593261719 × 216)
    floor (0.760795593261719 × 65536)
    floor (49859.5)     		tx = 49859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768547058105469 × 216)
    floor (0.768547058105469 × 65536)
    floor (50367.5)     		ty = 50367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49859 / 50367 ti = "16/49859/50367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49859/50367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49859 ÷ 216
    49859 ÷ 65536     		x = 0.760787963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50367 ÷ 216
    50367 ÷ 65536     		y = 0.768539428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760787963867188 × 2 - 1) × π
    0.521575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63857910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768539428710938 × 2 - 1) × π
    -0.537078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68728299282674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63857910} λ = 1.63857910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68728299282674))-π/2
    2×atan(0.185021546553902)-π/2
    2×0.182952599681014-π/2
    0.365905199362028-1.57079632675     		φ = -1.20489113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63857910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.883667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20489113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.035177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49859 KachelY 50367 1.63857910 -1.20489113 93.883667 -69.035177
    Oben rechts KachelX + 1 49860 KachelY 50367 1.63867498 -1.20489113 93.889160 -69.035177
    Unten links KachelX 49859 KachelY + 1 50368 1.63857910 -1.20492543 93.883667 -69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 49860 KachelY + 1 50368 1.63867498 -1.20492543 93.889160 -69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20489113--1.20492543) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dl = 218.525300000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20489113--1.20492543) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dr = 218.525300000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63857910-1.63867498) × cos(-1.20489113) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357794713957314 × 6371000     		do = 218.559430556858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63857910-1.63867498) × cos(-1.20492543) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 218.539865252914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20489113)-sin(-1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357794713957314-0.357762684397617)×R²
    abs(1.63867498-1.63857910)×3.20295596965559e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20295596965559e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20295596965559e-05×40589641000000     		ar = 47758.6273776494m²