Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49858 / 50365
↖ ↑ ↗
← S 69.031245°
E 93.878174°		 ← 218.58 m → S 69.031245°
E 93.883667°		 →
↑
218.59 m
↓
↑
218.59 m
↓
S 69.033211°
E 93.878174°		 ← 218.56 m →
47 776 m²		 S 69.033211°
E 93.883667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760780334472656 y=0.768516540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760780334472656 × 216)
    floor (0.760780334472656 × 65536)
    floor (49858.5)     		tx = 49858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768516540527344 × 216)
    floor (0.768516540527344 × 65536)
    floor (50365.5)     		ty = 50365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49858 / 50365 ti = "16/49858/50365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49858/50365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49858 ÷ 216
    49858 ÷ 65536     		x = 0.760772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50365 ÷ 216
    50365 ÷ 65536     		y = 0.768508911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760772705078125 × 2 - 1) × π
    0.52154541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63848323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768508911132812 × 2 - 1) × π
    -0.537017822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68709124522826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63848323} λ = 1.63848323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68709124522826))-π/2
    2×atan(0.185057027392695)-π/2
    2×0.182986905891032-π/2
    0.365973811782063-1.57079632675     		φ = -1.20482251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63848323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.878174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20482251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.031245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49858 KachelY 50365 1.63848323 -1.20482251 93.878174 -69.031245
    Oben rechts KachelX + 1 49859 KachelY 50365 1.63857910 -1.20482251 93.883667 -69.031245
    Unten links KachelX 49858 KachelY + 1 50366 1.63848323 -1.20485682 93.878174 -69.033211
    Unten rechts KachelX + 1 49859 KachelY + 1 50366 1.63857910 -1.20485682 93.883667 -69.033211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20482251--1.20485682) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dl = 218.589009999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20482251--1.20485682) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dr = 218.589009999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63848323-1.63857910) × cos(-1.20482251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357858790489358 × 6371000     		do = 218.575772617887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63848323-1.63857910) × cos(-1.20485682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357826752433948 × 6371000     		du = 218.556204165468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20482251)-sin(-1.20485682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357858790489358-0.357826752433948)×R²
    abs(1.63857910-1.63848323)×3.20380554094668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20380554094668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20380554094668e-05×40589641000000     		ar = 47776.1230268818m²