Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49857 / 84411
↖ ↑ ↗
← S 45.941601°
W 43.063660°		 ← 212.39 m → S 45.941601°
W 43.060913°		 →
↑
212.35 m
↓
↑
212.35 m
↓
S 45.943511°
W 43.063660°		 ← 212.38 m →
45 099 m²		 S 45.943511°
W 43.060913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380382537841797 y=0.644008636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380382537841797 × 217)
    floor (0.380382537841797 × 131072)
    floor (49857.5)     		tx = 49857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644008636474609 × 217)
    floor (0.644008636474609 × 131072)
    floor (84411.5)     		ty = 84411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49857 / 84411 ti = "17/49857/84411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49857/84411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49857 ÷ 217
    49857 ÷ 131072     		x = 0.380378723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84411 ÷ 217
    84411 ÷ 131072     		y = 0.644004821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380378723144531 × 2 - 1) × π
    -0.239242553710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75160265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644004821777344 × 2 - 1) × π
    -0.288009643554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.90480898032856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75160265} λ = -0.75160265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90480898032856))-π/2
    2×atan(0.404619167942031)-π/2
    2×0.384482064920242-π/2
    0.768964129840484-1.57079632675     		φ = -0.80183220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75160265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.063660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80183220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.941601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49857 KachelY 84411 -0.75160265 -0.80183220 -43.063660 -45.941601
    Oben rechts KachelX + 1 49858 KachelY 84411 -0.75155471 -0.80183220 -43.060913 -45.941601
    Unten links KachelX 49857 KachelY + 1 84412 -0.75160265 -0.80186553 -43.063660 -45.943511
    Unten rechts KachelX + 1 49858 KachelY + 1 84412 -0.75155471 -0.80186553 -43.060913 -45.943511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80183220--0.80186553) × R
    3.33300000000536e-05 × 6371000     		dl = 212.345430000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80183220--0.80186553) × R
    3.33300000000536e-05 × 6371000     		dr = 212.345430000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75160265--0.75155471) × cos(-0.80183220) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695391200845933 × 6371000     		do = 212.39037210821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75160265--0.75155471) × cos(-0.80186553) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695367248475386 × 6371000     		du = 212.383056437711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80183220)-sin(-0.80186553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695391200845933-0.695367248475386)×R²
    abs(-0.75155471--0.75160265)×2.39523705471978e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39523705471978e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39523705471978e-05×40589641000000     		ar = 45099.34817281m²