Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49855 / 54081
↖ ↑ ↗
← N 29.990623°
W 43.069153°		 ← 264.48 m → N 29.990623°
W 43.066406°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
N 29.988245°
W 43.069153°		 ← 264.48 m →
69 944 m²		 N 29.988245°
W 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380367279052734 y=0.412609100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380367279052734 × 217)
    floor (0.380367279052734 × 131072)
    floor (49855.5)     		tx = 49855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412609100341797 × 217)
    floor (0.412609100341797 × 131072)
    floor (54081.5)     		ty = 54081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49855 / 54081 ti = "17/49855/54081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49855/54081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49855 ÷ 217
    49855 ÷ 131072     		x = 0.380363464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54081 ÷ 217
    54081 ÷ 131072     		y = 0.412605285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380363464355469 × 2 - 1) × π
    -0.239273071289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75169852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412605285644531 × 2 - 1) × π
    0.174789428710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.549117185147743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75169852} λ = -0.75169852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.549117185147743))-π/2
    2×atan(1.73172355157762)-π/2
    2×1.04711572560379-π/2
    2.09423145120757-1.57079632675     		φ = 0.52343512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75169852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.069153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52343512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.990623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49855 KachelY 54081 -0.75169852 0.52343512 -43.069153 29.990623
    Oben rechts KachelX + 1 49856 KachelY 54081 -0.75165059 0.52343512 -43.066406 29.990623
    Unten links KachelX 49855 KachelY + 1 54082 -0.75169852 0.52339361 -43.069153 29.988245
    Unten rechts KachelX + 1 49856 KachelY + 1 54082 -0.75165059 0.52339361 -43.066406 29.988245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52343512-0.52339361) × R
    4.15100000000779e-05 × 6371000     		dl = 264.460210000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52343512-0.52339361) × R
    4.15100000000779e-05 × 6371000     		dr = 264.460210000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75169852--0.75165059) × cos(0.52343512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866107219985777 × 6371000     		do = 264.476258892675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75169852--0.75165059) × cos(0.52339361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866127968356098 × 6371000     		du = 264.482594657156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52343512)-sin(0.52339361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866107219985777-0.866127968356098)×R²
    abs(-0.75165059--0.75169852)×2.07483703217326e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07483703217326e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07483703217326e-05×40589641000000     		ar = 69944.2847557317m²