Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49854 / 84426
↖ ↑ ↗
← S 45.970243°
W 43.071899°		 ← 212.28 m → S 45.970243°
W 43.069153°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
S 45.972152°
W 43.071899°		 ← 212.27 m →
45 063 m²		 S 45.972152°
W 43.069153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380359649658203 y=0.644123077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380359649658203 × 217)
    floor (0.380359649658203 × 131072)
    floor (49854.5)     		tx = 49854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644123077392578 × 217)
    floor (0.644123077392578 × 131072)
    floor (84426.5)     		ty = 84426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49854 / 84426 ti = "17/49854/84426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49854/84426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49854 ÷ 217
    49854 ÷ 131072     		x = 0.380355834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84426 ÷ 217
    84426 ÷ 131072     		y = 0.644119262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380355834960938 × 2 - 1) × π
    -0.239288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75174646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644119262695312 × 2 - 1) × π
    -0.288238525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.905528033822861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75174646} λ = -0.75174646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.905528033822861))-π/2
    2×atan(0.404328329692123)-π/2
    2×0.384232117777139-π/2
    0.768464235554277-1.57079632675     		φ = -0.80233209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75174646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.071899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80233209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.970243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49854 KachelY 84426 -0.75174646 -0.80233209 -43.071899 -45.970243
    Oben rechts KachelX + 1 49855 KachelY 84426 -0.75169852 -0.80233209 -43.069153 -45.970243
    Unten links KachelX 49854 KachelY + 1 84427 -0.75174646 -0.80236541 -43.071899 -45.972152
    Unten rechts KachelX + 1 49855 KachelY + 1 84427 -0.75169852 -0.80236541 -43.069153 -45.972152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80233209--0.80236541) × R
    3.33199999998923e-05 × 6371000     		dl = 212.281719999314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80233209--0.80236541) × R
    3.33199999998923e-05 × 6371000     		dr = 212.281719999314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75174646--0.75169852) × cos(-0.80233209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695031877328616 × 6371000     		do = 212.280625456543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75174646--0.75169852) × cos(-0.80236541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695007920565138 × 6371000     		du = 212.273308444329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80233209)-sin(-0.80236541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695031877328616-0.695007920565138)×R²
    abs(-0.75169852--0.75174646)×2.39567634784388e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39567634784388e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39567634784388e-05×40589641000000     		ar = 45062.5196644517m²