Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49852 / 84396
↖ ↑ ↗
← S 45.912944°
W 43.077392°		 ← 212.46 m → S 45.912944°
W 43.074646°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
S 45.914855°
W 43.077392°		 ← 212.45 m →
45 154 m²		 S 45.914855°
W 43.074646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380344390869141 y=0.643894195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380344390869141 × 217)
    floor (0.380344390869141 × 131072)
    floor (49852.5)     		tx = 49852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643894195556641 × 217)
    floor (0.643894195556641 × 131072)
    floor (84396.5)     		ty = 84396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49852 / 84396 ti = "17/49852/84396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49852/84396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49852 ÷ 217
    49852 ÷ 131072     		x = 0.380340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84396 ÷ 217
    84396 ÷ 131072     		y = 0.643890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.23931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75184233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.28778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.904089926834259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75184233} λ = -0.75184233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904089926834259))-π/2
    2×atan(0.404910215395405)-π/2
    2×0.384732141253003-π/2
    0.769464282506006-1.57079632675     		φ = -0.80133204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75184233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.077392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80133204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.912944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49852 KachelY 84396 -0.75184233 -0.80133204 -43.077392 -45.912944
    Oben rechts KachelX + 1 49853 KachelY 84396 -0.75179440 -0.80133204 -43.074646 -45.912944
    Unten links KachelX 49852 KachelY + 1 84397 -0.75184233 -0.80136540 -43.077392 -45.914855
    Unten rechts KachelX + 1 49853 KachelY + 1 84397 -0.75179440 -0.80136540 -43.074646 -45.914855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80133204--0.80136540) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80133204--0.80136540) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75184233--0.75179440) × cos(-0.80133204) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695750544528508 × 6371000     		do = 212.455798650961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75184233--0.75179440) × cos(-0.80136540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695726582203958 × 6371000     		du = 212.448481466893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80133204)-sin(-0.80136540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695750544528508-0.695726582203958)×R²
    abs(-0.75179440--0.75184233)×2.39623245494869e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39623245494869e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39623245494869e-05×40589641000000     		ar = 45153.8470169205m²