Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49852 / 57919
↖ ↑ ↗
← N 20.470762°
W 43.077392°		 ← 286.08 m → N 20.470762°
W 43.074646°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.468189°
W 43.077392°		 ← 286.08 m →
81 854 m²		 N 20.468189°
W 43.074646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380344390869141 y=0.441890716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380344390869141 × 217)
    floor (0.380344390869141 × 131072)
    floor (49852.5)     		tx = 49852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441890716552734 × 217)
    floor (0.441890716552734 × 131072)
    floor (57919.5)     		ty = 57919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49852 / 57919 ti = "17/49852/57919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49852/57919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49852 ÷ 217
    49852 ÷ 131072     		x = 0.380340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57919 ÷ 217
    57919 ÷ 131072     		y = 0.441886901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.23931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75184233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441886901855469 × 2 - 1) × π
    0.116226196289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.365135364405968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75184233} λ = -0.75184233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365135364405968))-π/2
    2×atan(1.44070901567046)-π/2
    2×0.964039265369726-π/2
    1.92807853073945-1.57079632675     		φ = 0.35728220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75184233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.077392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35728220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.470762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49852 KachelY 57919 -0.75184233 0.35728220 -43.077392 20.470762
    Oben rechts KachelX + 1 49853 KachelY 57919 -0.75179440 0.35728220 -43.074646 20.470762
    Unten links KachelX 49852 KachelY + 1 57920 -0.75184233 0.35723729 -43.077392 20.468189
    Unten rechts KachelX + 1 49853 KachelY + 1 57920 -0.75179440 0.35723729 -43.074646 20.468189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35728220-0.35723729) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35728220-0.35723729) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75184233--0.75179440) × cos(0.35728220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936850776941227 × 6371000     		do = 286.078655054025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75184233--0.75179440) × cos(0.35723729) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936866482341783 × 6371000     		du = 286.083450887021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35728220)-sin(0.35723729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936850776941227-0.936866482341783)×R²
    abs(-0.75179440--0.75184233)×1.57054005565094e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57054005565094e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57054005565094e-05×40589641000000     		ar = 81853.9714801054m²