Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49852 / 50364
↖ ↑ ↗
← S 69.029279°
E 93.845215°		 ← 218.60 m → S 69.029279°
E 93.850708°		 →
↑
218.59 m
↓
↑
218.59 m
↓
S 69.031245°
E 93.845215°		 ← 218.58 m →
47 780 m²		 S 69.031245°
E 93.850708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760688781738281 y=0.768501281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760688781738281 × 216)
    floor (0.760688781738281 × 65536)
    floor (49852.5)     		tx = 49852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768501281738281 × 216)
    floor (0.768501281738281 × 65536)
    floor (50364.5)     		ty = 50364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49852 / 50364 ti = "16/49852/50364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49852/50364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49852 ÷ 216
    49852 ÷ 65536     		x = 0.76068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50364 ÷ 216
    50364 ÷ 65536     		y = 0.76849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76068115234375 × 2 - 1) × π
    0.5213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63790799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.5369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68699537142902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63790799} λ = 1.63790799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68699537142902))-π/2
    2×atan(0.185074770363517)-π/2
    2×0.183004061299626-π/2
    0.366008122599252-1.57079632675     		φ = -1.20478820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63790799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.845215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20478820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.029279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49852 KachelY 50364 1.63790799 -1.20478820 93.845215 -69.029279
    Oben rechts KachelX + 1 49853 KachelY 50364 1.63800386 -1.20478820 93.850708 -69.029279
    Unten links KachelX 49852 KachelY + 1 50365 1.63790799 -1.20482251 93.845215 -69.031245
    Unten rechts KachelX + 1 49853 KachelY + 1 50365 1.63800386 -1.20482251 93.850708 -69.031245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20478820--1.20482251) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dl = 218.589009999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20478820--1.20482251) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dr = 218.589009999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63790799-1.63800386) × cos(-1.20478820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357890828123504 × 6371000     		do = 218.595340813004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63790799-1.63800386) × cos(-1.20482251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357858790489358 × 6371000     		du = 218.575772617887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20478820)-sin(-1.20482251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357890828123504-0.357858790489358)×R²
    abs(1.63800386-1.63790799)×3.20376341466089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20376341466089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20376341466089e-05×40589641000000     		ar = 47780.4004471239m²