Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49851 / 58315
↖ ↑ ↗
← N 19.448464°
W 43.080139°		 ← 288 m → N 19.448464°
W 43.077392°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.445874°
W 43.080139°		 ← 288 m →
82 935 m²		 N 19.445874°
W 43.077392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380336761474609 y=0.444911956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380336761474609 × 217)
    floor (0.380336761474609 × 131072)
    floor (49851.5)     		tx = 49851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444911956787109 × 217)
    floor (0.444911956787109 × 131072)
    floor (58315.5)     		ty = 58315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49851 / 58315 ti = "17/49851/58315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49851/58315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49851 ÷ 217
    49851 ÷ 131072     		x = 0.380332946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58315 ÷ 217
    58315 ÷ 131072     		y = 0.444908142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380332946777344 × 2 - 1) × π
    -0.239334106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75189027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444908142089844 × 2 - 1) × π
    0.110183715820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.346152352156425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75189027} λ = -0.75189027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346152352156425))-π/2
    2×atan(1.4136179671583)-π/2
    2×0.955118030632183-π/2
    1.91023606126437-1.57079632675     		φ = 0.33943973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75189027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.080139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33943973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.448464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49851 KachelY 58315 -0.75189027 0.33943973 -43.080139 19.448464
    Oben rechts KachelX + 1 49852 KachelY 58315 -0.75184233 0.33943973 -43.077392 19.448464
    Unten links KachelX 49851 KachelY + 1 58316 -0.75189027 0.33939453 -43.080139 19.445874
    Unten rechts KachelX + 1 49852 KachelY + 1 58316 -0.75184233 0.33939453 -43.077392 19.445874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33943973-0.33939453) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dl = 287.969199999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33943973-0.33939453) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dr = 287.969199999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75189027--0.75184233) × cos(0.33943973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942941360365178 × 6371000     		do = 287.998562765952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75189027--0.75184233) × cos(0.33939453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942956409141628 × 6371000     		du = 288.003159049636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33943973)-sin(0.33939453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942941360365178-0.942956409141628)×R²
    abs(-0.75184233--0.75189027)×1.50487764500884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50487764500884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50487764500884e-05×40589641000000     		ar = 82935.3775290059m²