Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4985 / 1177
↖ ↑ ↗
← N 77.832589°
E 39.067383°		 ← 1 029.92 m → N 77.832589°
E 39.111328°		 →
↑
1 030.32 m
↓
↑
1 030.32 m
↓
N 77.823323°
E 39.067383°		 ← 1 030.69 m →
1 061 544 m²		 N 77.823323°
E 39.111328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60858154296875 y=0.14373779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60858154296875 × 213)
    floor (0.60858154296875 × 8192)
    floor (4985.5)     		tx = 4985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14373779296875 × 213)
    floor (0.14373779296875 × 8192)
    floor (1177.5)     		ty = 1177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4985 / 1177 ti = "13/4985/1177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4985/1177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4985 ÷ 213
    4985 ÷ 8192     		x = 0.6085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1177 ÷ 213
    1177 ÷ 8192     		y = 0.1436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6085205078125 × 2 - 1) × π
    0.217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68185446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1436767578125 × 2 - 1) × π
    0.712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2388449598551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68185446} λ = 0.68185446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2388449598551))-π/2
    2×atan(9.38248787620464)-π/2
    2×1.46461563439442-π/2
    2.92923126878884-1.57079632675     		φ = 1.35843494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68185446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.067383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35843494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.832589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4985 KachelY 1177 0.68185446 1.35843494 39.067383 77.832589
    Oben rechts KachelX + 1 4986 KachelY 1177 0.68262145 1.35843494 39.111328 77.832589
    Unten links KachelX 4985 KachelY + 1 1178 0.68185446 1.35827322 39.067383 77.823323
    Unten rechts KachelX + 1 4986 KachelY + 1 1178 0.68262145 1.35827322 39.111328 77.823323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35843494-1.35827322) × R
    0.000161719999999921 × 6371000     		dl = 1030.3181199995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35843494-1.35827322) × R
    0.000161719999999921 × 6371000     		dr = 1030.3181199995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68185446-0.68262145) × cos(1.35843494) × R
    0.000766989999999912 × 0.210768825785455 × 6371000     		do = 1029.92045294169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68185446-0.68262145) × cos(1.35827322) × R
    0.000766989999999912 × 0.210926910139841 × 6371000     		du = 1030.69293107865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35843494)-sin(1.35827322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210768825785455-0.210926910139841)×R²
    abs(0.68262145-0.68185446)×0.000158084354385774×R²
    0.000766989999999912×0.000158084354385774×6371000²
    0.000766989999999912×0.000158084354385774×40589641000000     		ar = 1061543.65624732m²