Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49849 / 58281
↖ ↑ ↗
← N 19.536495°
W 43.085632°		 ← 287.78 m → N 19.536495°
W 43.082886°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.533907°
W 43.085632°		 ← 287.79 m →
82 818 m²		 N 19.533907°
W 43.082886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380321502685547 y=0.444652557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380321502685547 × 217)
    floor (0.380321502685547 × 131072)
    floor (49849.5)     		tx = 49849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444652557373047 × 217)
    floor (0.444652557373047 × 131072)
    floor (58281.5)     		ty = 58281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49849 / 58281 ti = "17/49849/58281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49849/58281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49849 ÷ 217
    49849 ÷ 131072     		x = 0.380317687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58281 ÷ 217
    58281 ÷ 131072     		y = 0.444648742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380317687988281 × 2 - 1) × π
    -0.239364624023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75198614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444648742675781 × 2 - 1) × π
    0.110702514648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.347782206743507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75198614} λ = -0.75198614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347782206743507))-π/2
    2×atan(1.41592383749268)-π/2
    2×0.955886250513843-π/2
    1.91177250102769-1.57079632675     		φ = 0.34097617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75198614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.085632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34097617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.536495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49849 KachelY 58281 -0.75198614 0.34097617 -43.085632 19.536495
    Oben rechts KachelX + 1 49850 KachelY 58281 -0.75193821 0.34097617 -43.082886 19.536495
    Unten links KachelX 49849 KachelY + 1 58282 -0.75198614 0.34093100 -43.085632 19.533907
    Unten rechts KachelX + 1 49850 KachelY + 1 58282 -0.75193821 0.34093100 -43.082886 19.533907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34097617-0.34093100) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dl = 287.778070000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34097617-0.34093100) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dr = 287.778070000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75198614--0.75193821) × cos(0.34097617) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.942428676306179 × 6371000     		do = 287.781933726577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75198614--0.75193821) × cos(0.34093100) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.942443780518956 × 6371000     		du = 287.786545979652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34097617)-sin(0.34093100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942428676306179-0.942443780518956)×R²
    abs(-0.75193821--0.75198614)×1.51042127770618e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51042127770618e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51042127770618e-05×40589641000000     		ar = 82817.9931353965m²