Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49849 / 50360
↖ ↑ ↗
← S 69.021414°
E 93.828735°		 ← 218.70 m → S 69.021414°
E 93.834229°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
S 69.023380°
E 93.828735°		 ← 218.68 m →
47 816 m²		 S 69.023380°
E 93.834229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760643005371094 y=0.768440246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760643005371094 × 216)
    floor (0.760643005371094 × 65536)
    floor (49849.5)     		tx = 49849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768440246582031 × 216)
    floor (0.768440246582031 × 65536)
    floor (50360.5)     		ty = 50360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49849 / 50360 ti = "16/49849/50360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49849/50360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49849 ÷ 216
    49849 ÷ 65536     		x = 0.760635375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50360 ÷ 216
    50360 ÷ 65536     		y = 0.7684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760635375976562 × 2 - 1) × π
    0.521270751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63762036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68661187623206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63762036} λ = 1.63762036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68661187623206))-π/2
    2×atan(0.18514575926011)-π/2
    2×0.183072698293977-π/2
    0.366145396587955-1.57079632675     		φ = -1.20465093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63762036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.828735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20465093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.021414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49849 KachelY 50360 1.63762036 -1.20465093 93.828735 -69.021414
    Oben rechts KachelX + 1 49850 KachelY 50360 1.63771624 -1.20465093 93.834229 -69.021414
    Unten links KachelX 49849 KachelY + 1 50361 1.63762036 -1.20468525 93.828735 -69.023380
    Unten rechts KachelX + 1 49850 KachelY + 1 50361 1.63771624 -1.20468525 93.834229 -69.023380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20465093--1.20468525) × R
    3.43200000001431e-05 × 6371000     		dl = 218.652720000912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20465093--1.20468525) × R
    3.43200000001431e-05 × 6371000     		dr = 218.652720000912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63762036-1.63771624) × cos(-1.20465093) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.358019002458138 × 6371000     		do = 218.696437519534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63762036-1.63771624) × cos(-1.20468525) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357986957172522 × 6371000     		du = 218.676862609388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20465093)-sin(-1.20468525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358019002458138-0.357986957172522)×R²
    abs(1.63771624-1.63762036)×3.20452856156783e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20452856156783e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20452856156783e-05×40589641000000     		ar = 47816.4308690623m²