Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49848 / 83176
↖ ↑ ↗
← S 43.532621°
W 43.088379°		 ← 221.43 m → S 43.532621°
W 43.085632°		 →
↑
221.39 m
↓
↑
221.39 m
↓
S 43.534612°
W 43.088379°		 ← 221.42 m →
49 022 m²		 S 43.534612°
W 43.085632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380313873291016 y=0.634586334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380313873291016 × 217)
    floor (0.380313873291016 × 131072)
    floor (49848.5)     		tx = 49848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634586334228516 × 217)
    floor (0.634586334228516 × 131072)
    floor (83176.5)     		ty = 83176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49848 / 83176 ti = "17/49848/83176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49848/83176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49848 ÷ 217
    49848 ÷ 131072     		x = 0.38031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83176 ÷ 217
    83176 ÷ 131072     		y = 0.63458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.2393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75203408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.2691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.845606909297791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75203408} λ = -0.75203408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845606909297791))-π/2
    2×atan(0.429296734951446)-π/2
    2×0.405504384171822-π/2
    0.811008768343643-1.57079632675     		φ = -0.75978756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75203408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.088379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75978756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.532621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49848 KachelY 83176 -0.75203408 -0.75978756 -43.088379 -43.532621
    Oben rechts KachelX + 1 49849 KachelY 83176 -0.75198614 -0.75978756 -43.085632 -43.532621
    Unten links KachelX 49848 KachelY + 1 83177 -0.75203408 -0.75982231 -43.088379 -43.534612
    Unten rechts KachelX + 1 49849 KachelY + 1 83177 -0.75198614 -0.75982231 -43.085632 -43.534612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75978756--0.75982231) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dl = 221.392249999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75978756--0.75982231) × R
    3.47499999999723e-05 × 6371000     		dr = 221.392249999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75203408--0.75198614) × cos(-0.75978756) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.724982348855406 × 6371000     		do = 221.428270386468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75203408--0.75198614) × cos(-0.75982231) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.724958413748952 × 6371000     		du = 221.420959988868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75978756)-sin(-0.75982231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724982348855406-0.724958413748952)×R²
    abs(-0.75198614--0.75203408)×2.39351064537097e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39351064537097e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39351064537097e-05×40589641000000     		ar = 49021.6937666306m²