Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49848 / 58248
↖ ↑ ↗
← N 19.621892°
W 43.088379°		 ← 287.69 m → N 19.621892°
W 43.085632°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
N 19.619305°
W 43.088379°		 ← 287.69 m →
82 755 m²		 N 19.619305°
W 43.085632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380313873291016 y=0.444400787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380313873291016 × 217)
    floor (0.380313873291016 × 131072)
    floor (49848.5)     		tx = 49848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444400787353516 × 217)
    floor (0.444400787353516 × 131072)
    floor (58248.5)     		ty = 58248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49848 / 58248 ti = "17/49848/58248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49848/58248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49848 ÷ 217
    49848 ÷ 131072     		x = 0.38031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58248 ÷ 217
    58248 ÷ 131072     		y = 0.44439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.2393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75203408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    0.1112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.349364124430969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75203408} λ = -0.75203408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349364124430969))-π/2
    2×atan(1.41816548503879)-π/2
    2×0.956631475401696-π/2
    1.91326295080339-1.57079632675     		φ = 0.34246662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75203408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.088379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34246662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.621892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49848 KachelY 58248 -0.75203408 0.34246662 -43.088379 19.621892
    Oben rechts KachelX + 1 49849 KachelY 58248 -0.75198614 0.34246662 -43.085632 19.621892
    Unten links KachelX 49848 KachelY + 1 58249 -0.75203408 0.34242147 -43.088379 19.619305
    Unten rechts KachelX + 1 49849 KachelY + 1 58249 -0.75198614 0.34242147 -43.085632 19.619305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34246662-0.34242147) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dl = 287.650649999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34246662-0.34242147) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dr = 287.650649999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75203408--0.75198614) × cos(0.34246662) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941929212472042 × 6371000     		do = 287.689426747368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75203408--0.75198614) × cos(0.34242147) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941944373400865 × 6371000     		du = 287.694057285273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34246662)-sin(0.34242147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941929212472042-0.941944373400865)×R²
    abs(-0.75198614--0.75203408)×1.51609288224774e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51609288224774e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51609288224774e-05×40589641000000     		ar = 82754.7166046329m²