Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49847 / 58221
↖ ↑ ↗
← N 19.691728°
W 43.091126°		 ← 287.56 m → N 19.691728°
W 43.088379°		 →
↑
287.52 m
↓
↑
287.52 m
↓
N 19.689142°
W 43.091126°		 ← 287.57 m →
82 682 m²		 N 19.689142°
W 43.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380306243896484 y=0.444194793701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380306243896484 × 217)
    floor (0.380306243896484 × 131072)
    floor (49847.5)     		tx = 49847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444194793701172 × 217)
    floor (0.444194793701172 × 131072)
    floor (58221.5)     		ty = 58221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49847 / 58221 ti = "17/49847/58221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49847/58221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49847 ÷ 217
    49847 ÷ 131072     		x = 0.380302429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58221 ÷ 217
    58221 ÷ 131072     		y = 0.444190979003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380302429199219 × 2 - 1) × π
    -0.239395141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.75208202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444190979003906 × 2 - 1) × π
    0.111618041992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.350658420720711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75208202} λ = -0.75208202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350658420720711))-π/2
    2×atan(1.42000219973441)-π/2
    2×0.957240910540417-π/2
    1.91448182108083-1.57079632675     		φ = 0.34368549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75208202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.091126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34368549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.691728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49847 KachelY 58221 -0.75208202 0.34368549 -43.091126 19.691728
    Oben rechts KachelX + 1 49848 KachelY 58221 -0.75203408 0.34368549 -43.088379 19.691728
    Unten links KachelX 49847 KachelY + 1 58222 -0.75208202 0.34364036 -43.091126 19.689142
    Unten rechts KachelX + 1 49848 KachelY + 1 58222 -0.75203408 0.34364036 -43.088379 19.689142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34368549-0.34364036) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dl = 287.523230000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34368549-0.34364036) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dr = 287.523230000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75208202--0.75203408) × cos(0.34368549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941519202333479 × 6371000     		do = 287.564199096724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75208202--0.75203408) × cos(0.34364036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941534408349337 × 6371000     		du = 287.56884340537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34368549)-sin(0.34364036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941519202333479-0.941534408349337)×R²
    abs(-0.75203408--0.75208202)×1.5206015858471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5206015858471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5206015858471e-05×40589641000000     		ar = 82682.05504408m²