Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49847 / 50359
↖ ↑ ↗
← S 69.019447°
E 93.817749°		 ← 218.69 m → S 69.019447°
E 93.823242°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
S 69.021414°
E 93.817749°		 ← 218.67 m →
47 830 m²		 S 69.021414°
E 93.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760612487792969 y=0.768424987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760612487792969 × 216)
    floor (0.760612487792969 × 65536)
    floor (49847.5)     		tx = 49847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768424987792969 × 216)
    floor (0.768424987792969 × 65536)
    floor (50359.5)     		ty = 50359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49847 / 50359 ti = "16/49847/50359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49847/50359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49847 ÷ 216
    49847 ÷ 65536     		x = 0.760604858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50359 ÷ 216
    50359 ÷ 65536     		y = 0.768417358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760604858398438 × 2 - 1) × π
    0.521209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63742862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768417358398438 × 2 - 1) × π
    -0.536834716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68651600243282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63742862} λ = 1.63742862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68651600243282))-π/2
    2×atan(0.185163510738401)-π/2
    2×0.183089861383145-π/2
    0.366179722766291-1.57079632675     		φ = -1.20461660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63742862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.817749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20461660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.019447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49847 KachelY 50359 1.63742862 -1.20461660 93.817749 -69.019447
    Oben rechts KachelX + 1 49848 KachelY 50359 1.63752449 -1.20461660 93.823242 -69.019447
    Unten links KachelX 49847 KachelY + 1 50360 1.63742862 -1.20465093 93.817749 -69.021414
    Unten rechts KachelX + 1 49848 KachelY + 1 50360 1.63752449 -1.20465093 93.823242 -69.021414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20461660--1.20465093) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dl = 218.71642999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20461660--1.20465093) × R
    3.43299999998603e-05 × 6371000     		dr = 218.71642999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63742862-1.63752449) × cos(-1.20461660) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.358051056659076 × 6371000     		do = 218.693206443442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63742862-1.63752449) × cos(-1.20465093) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.358019002458138 × 6371000     		du = 218.673628129532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20461660)-sin(-1.20465093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358051056659076-0.358019002458138)×R²
    abs(1.63752449-1.63742862)×3.20542009384917e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.20542009384917e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.20542009384917e-05×40589641000000     		ar = 47829.6563334404m²