Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49844 / 84403
↖ ↑ ↗
← S 45.926319°
W 43.099365°		 ← 212.45 m → S 45.926319°
W 43.096619°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
S 45.928229°
W 43.099365°		 ← 212.44 m →
45 125 m²		 S 45.928229°
W 43.096619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380283355712891 y=0.643947601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380283355712891 × 217)
    floor (0.380283355712891 × 131072)
    floor (49844.5)     		tx = 49844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643947601318359 × 217)
    floor (0.643947601318359 × 131072)
    floor (84403.5)     		ty = 84403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49844 / 84403 ti = "17/49844/84403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49844/84403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49844 ÷ 217
    49844 ÷ 131072     		x = 0.380279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84403 ÷ 217
    84403 ÷ 131072     		y = 0.643943786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75222583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643943786621094 × 2 - 1) × π
    -0.287887573242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.904425485131599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75222583} λ = -0.75222583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904425485131599))-π/2
    2×atan(0.404774367206719)-π/2
    2×0.384615422887177-π/2
    0.769230845774354-1.57079632675     		φ = -0.80156548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75222583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80156548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.926319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49844 KachelY 84403 -0.75222583 -0.80156548 -43.099365 -45.926319
    Oben rechts KachelX + 1 49845 KachelY 84403 -0.75217789 -0.80156548 -43.096619 -45.926319
    Unten links KachelX 49844 KachelY + 1 84404 -0.75222583 -0.80159882 -43.099365 -45.928229
    Unten rechts KachelX + 1 49845 KachelY + 1 84404 -0.75217789 -0.80159882 -43.096619 -45.928229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80156548--0.80159882) × R
    3.33399999999928e-05 × 6371000     		dl = 212.409139999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80156548--0.80159882) × R
    3.33399999999928e-05 × 6371000     		dr = 212.409139999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75222583--0.75217789) × cos(-0.80156548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695582849473664 × 6371000     		do = 212.448906531663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75222583--0.75217789) × cos(-0.80159882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695558896101045 × 6371000     		du = 212.441590555105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80156548)-sin(-0.80159882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695582849473664-0.695558896101045)×R²
    abs(-0.75217789--0.75222583)×2.39533726194008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39533726194008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39533726194008e-05×40589641000000     		ar = 45125.3125443689m²