Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49844 / 58292
↖ ↑ ↗
← N 19.508020°
W 43.099365°		 ← 287.89 m → N 19.508020°
W 43.096619°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
N 19.505431°
W 43.099365°		 ← 287.90 m →
82 868 m²		 N 19.505431°
W 43.096619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380283355712891 y=0.444736480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380283355712891 × 217)
    floor (0.380283355712891 × 131072)
    floor (49844.5)     		tx = 49844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444736480712891 × 217)
    floor (0.444736480712891 × 131072)
    floor (58292.5)     		ty = 58292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49844 / 58292 ti = "17/49844/58292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49844/58292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49844 ÷ 217
    49844 ÷ 131072     		x = 0.380279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58292 ÷ 217
    58292 ÷ 131072     		y = 0.444732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75222583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444732666015625 × 2 - 1) × π
    0.11053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.347254900847687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75222583} λ = -0.75222583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347254900847687))-π/2
    2×atan(1.41517740932042)-π/2
    2×0.955637754517127-π/2
    1.91127550903425-1.57079632675     		φ = 0.34047918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75222583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34047918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.508020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49844 KachelY 58292 -0.75222583 0.34047918 -43.099365 19.508020
    Oben rechts KachelX + 1 49845 KachelY 58292 -0.75217789 0.34047918 -43.096619 19.508020
    Unten links KachelX 49844 KachelY + 1 58293 -0.75222583 0.34043400 -43.099365 19.505431
    Unten rechts KachelX + 1 49845 KachelY + 1 58293 -0.75217789 0.34043400 -43.096619 19.505431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34047918-0.34043400) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34047918-0.34043400) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75222583--0.75217789) × cos(0.34047918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942594756955065 × 6371000     		do = 287.892701162932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75222583--0.75217789) × cos(0.34043400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942609843348153 × 6371000     		du = 287.897308935705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34047918)-sin(0.34043400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942594756955065-0.942609843348153)×R²
    abs(-0.75217789--0.75222583)×1.5086393087782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5086393087782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5086393087782e-05×40589641000000     		ar = 82868.2107205899m²