Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49844 / 58228
↖ ↑ ↗
← N 19.673625°
W 43.099365°		 ← 287.60 m → N 19.673625°
W 43.096619°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.671039°
W 43.099365°		 ← 287.60 m →
82 710 m²		 N 19.671039°
W 43.096619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380283355712891 y=0.444248199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380283355712891 × 217)
    floor (0.380283355712891 × 131072)
    floor (49844.5)     		tx = 49844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444248199462891 × 217)
    floor (0.444248199462891 × 131072)
    floor (58228.5)     		ty = 58228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49844 / 58228 ti = "17/49844/58228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49844/58228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49844 ÷ 217
    49844 ÷ 131072     		x = 0.380279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58228 ÷ 217
    58228 ÷ 131072     		y = 0.444244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75222583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444244384765625 × 2 - 1) × π
    0.11151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35032286242337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75222583} λ = -0.75222583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35032286242337))-π/2
    2×atan(1.41952578615079)-π/2
    2×0.957082934322086-π/2
    1.91416586864417-1.57079632675     		φ = 0.34336954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75222583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34336954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.673625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49844 KachelY 58228 -0.75222583 0.34336954 -43.099365 19.673625
    Oben rechts KachelX + 1 49845 KachelY 58228 -0.75217789 0.34336954 -43.096619 19.673625
    Unten links KachelX 49844 KachelY + 1 58229 -0.75222583 0.34332440 -43.099365 19.671039
    Unten rechts KachelX + 1 49845 KachelY + 1 58229 -0.75217789 0.34332440 -43.096619 19.671039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34336954-0.34332440) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34336954-0.34332440) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75222583--0.75217789) × cos(0.34336954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941625617639459 × 6371000     		do = 287.5967010703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75222583--0.75217789) × cos(0.34332440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941640813595687 × 6371000     		du = 287.601342306476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34336954)-sin(0.34332440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941625617639459-0.941640813595687)×R²
    abs(-0.75217789--0.75222583)×1.51959562285642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51959562285642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51959562285642e-05×40589641000000     		ar = 82709.7226082997m²