Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49844 / 58197
↖ ↑ ↗
← N 19.753779°
W 43.099365°		 ← 287.45 m → N 19.753779°
W 43.096619°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.751194°
W 43.099365°		 ← 287.46 m →
82 632 m²		 N 19.751194°
W 43.096619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380283355712891 y=0.444011688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380283355712891 × 217)
    floor (0.380283355712891 × 131072)
    floor (49844.5)     		tx = 49844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444011688232422 × 217)
    floor (0.444011688232422 × 131072)
    floor (58197.5)     		ty = 58197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49844 / 58197 ti = "17/49844/58197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49844/58197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49844 ÷ 217
    49844 ÷ 131072     		x = 0.380279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58197 ÷ 217
    58197 ÷ 131072     		y = 0.444007873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75222583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444007873535156 × 2 - 1) × π
    0.111984252929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.351808906311592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75222583} λ = -0.75222583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351808906311592))-π/2
    2×atan(1.42163683193432)-π/2
    2×0.957782407604601-π/2
    1.9155648152092-1.57079632675     		φ = 0.34476849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75222583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34476849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.753779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49844 KachelY 58197 -0.75222583 0.34476849 -43.099365 19.753779
    Oben rechts KachelX + 1 49845 KachelY 58197 -0.75217789 0.34476849 -43.096619 19.753779
    Unten links KachelX 49844 KachelY + 1 58198 -0.75222583 0.34472337 -43.099365 19.751194
    Unten rechts KachelX + 1 49845 KachelY + 1 58198 -0.75217789 0.34472337 -43.096619 19.751194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34476849-0.34472337) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34476849-0.34472337) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75222583--0.75217789) × cos(0.34476849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941153723299209 × 6371000     		do = 287.452572392228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75222583--0.75217789) × cos(0.34472337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941168971944644 × 6371000     		du = 287.457229721044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34476849)-sin(0.34472337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941153723299209-0.941168971944644)×R²
    abs(-0.75217789--0.75222583)×1.52486454351175e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52486454351175e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52486454351175e-05×40589641000000     		ar = 82631.6478933713m²