Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49843 / 84402
↖ ↑ ↗
← S 45.924409°
W 43.102112°		 ← 212.46 m → S 45.924409°
W 43.099365°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
S 45.926319°
W 43.102112°		 ← 212.45 m →
45 127 m²		 S 45.926319°
W 43.099365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380275726318359 y=0.643939971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380275726318359 × 217)
    floor (0.380275726318359 × 131072)
    floor (49843.5)     		tx = 49843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643939971923828 × 217)
    floor (0.643939971923828 × 131072)
    floor (84402.5)     		ty = 84402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49843 / 84402 ti = "17/49843/84402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49843/84402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49843 ÷ 217
    49843 ÷ 131072     		x = 0.380271911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84402 ÷ 217
    84402 ÷ 131072     		y = 0.643936157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380271911621094 × 2 - 1) × π
    -0.239456176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.75227377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643936157226562 × 2 - 1) × π
    -0.287872314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.904377548231979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75227377} λ = -0.75227377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904377548231979))-π/2
    2×atan(0.404793771300011)-π/2
    2×0.384632095216869-π/2
    0.769264190433738-1.57079632675     		φ = -0.80153214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75227377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.102112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80153214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.924409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49843 KachelY 84402 -0.75227377 -0.80153214 -43.102112 -45.924409
    Oben rechts KachelX + 1 49844 KachelY 84402 -0.75222583 -0.80153214 -43.099365 -45.924409
    Unten links KachelX 49843 KachelY + 1 84403 -0.75227377 -0.80156548 -43.102112 -45.926319
    Unten rechts KachelX + 1 49844 KachelY + 1 84403 -0.75222583 -0.80156548 -43.099365 -45.926319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80153214--0.80156548) × R
    3.33400000001038e-05 × 6371000     		dl = 212.409140000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80153214--0.80156548) × R
    3.33400000001038e-05 × 6371000     		dr = 212.409140000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75227377--0.75222583) × cos(-0.80153214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695606802073105 × 6371000     		do = 212.456222272072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75227377--0.75222583) × cos(-0.80156548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695582849473664 × 6371000     		du = 212.448906531663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80153214)-sin(-0.80156548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695606802073105-0.695582849473664)×R²
    abs(-0.75222583--0.75227377)×2.39525994404355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39525994404355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39525994404355e-05×40589641000000     		ar = 45126.8664997378m²