Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49842 / 58322
↖ ↑ ↗
← N 19.430334°
W 43.104858°		 ← 287.97 m → N 19.430334°
W 43.102112°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 19.427744°
W 43.104858°		 ← 287.98 m →
82 946 m²		 N 19.427744°
W 43.102112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380268096923828 y=0.444965362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380268096923828 × 217)
    floor (0.380268096923828 × 131072)
    floor (49842.5)     		tx = 49842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444965362548828 × 217)
    floor (0.444965362548828 × 131072)
    floor (58322.5)     		ty = 58322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49842 / 58322 ti = "17/49842/58322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49842/58322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49842 ÷ 217
    49842 ÷ 131072     		x = 0.380264282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58322 ÷ 217
    58322 ÷ 131072     		y = 0.444961547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380264282226562 × 2 - 1) × π
    -0.239471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75232170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444961547851562 × 2 - 1) × π
    0.110076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.345816793859085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75232170} λ = -0.75232170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345816793859085))-π/2
    2×atan(1.41314369549749)-π/2
    2×0.954959815898112-π/2
    1.90991963179622-1.57079632675     		φ = 0.33912331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75232170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.104858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33912331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.430334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49842 KachelY 58322 -0.75232170 0.33912331 -43.104858 19.430334
    Oben rechts KachelX + 1 49843 KachelY 58322 -0.75227377 0.33912331 -43.102112 19.430334
    Unten links KachelX 49842 KachelY + 1 58323 -0.75232170 0.33907810 -43.104858 19.427744
    Unten rechts KachelX + 1 49843 KachelY + 1 58323 -0.75227377 0.33907810 -43.102112 19.427744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33912331-0.33907810) × R
    4.52100000000177e-05 × 6371000     		dl = 288.032910000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33912331-0.33907810) × R
    4.52100000000177e-05 × 6371000     		dr = 288.032910000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75232170--0.75227377) × cos(0.33912331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943046667996012 × 6371000     		do = 287.970644924175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75232170--0.75227377) × cos(0.33907810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943061706611659 × 6371000     		du = 287.975237146377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33912331)-sin(0.33907810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943046667996012-0.943061706611659)×R²
    abs(-0.75227377--0.75232170)×1.50386156468896e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50386156468896e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50386156468896e-05×40589641000000     		ar = 82945.684221861m²