Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49842 / 58291
↖ ↑ ↗
← N 19.510609°
W 43.104858°		 ← 287.83 m → N 19.510609°
W 43.102112°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 19.508020°
W 43.104858°		 ← 287.83 m →
82 868 m²		 N 19.508020°
W 43.102112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380268096923828 y=0.444728851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380268096923828 × 217)
    floor (0.380268096923828 × 131072)
    floor (49842.5)     		tx = 49842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444728851318359 × 217)
    floor (0.444728851318359 × 131072)
    floor (58291.5)     		ty = 58291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49842 / 58291 ti = "17/49842/58291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49842/58291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49842 ÷ 217
    49842 ÷ 131072     		x = 0.380264282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58291 ÷ 217
    58291 ÷ 131072     		y = 0.444725036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380264282226562 × 2 - 1) × π
    -0.239471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75232170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444725036621094 × 2 - 1) × π
    0.110549926757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.347302837747307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75232170} λ = -0.75232170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347302837747307))-π/2
    2×atan(1.41524525016386)-π/2
    2×0.955660346871395-π/2
    1.91132069374279-1.57079632675     		φ = 0.34052437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75232170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.104858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34052437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.510609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49842 KachelY 58291 -0.75232170 0.34052437 -43.104858 19.510609
    Oben rechts KachelX + 1 49843 KachelY 58291 -0.75227377 0.34052437 -43.102112 19.510609
    Unten links KachelX 49842 KachelY + 1 58292 -0.75232170 0.34047918 -43.104858 19.508020
    Unten rechts KachelX + 1 49843 KachelY + 1 58292 -0.75227377 0.34047918 -43.102112 19.508020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34052437-0.34047918) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dl = 287.90549000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34052437-0.34047918) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dr = 287.90549000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75232170--0.75227377) × cos(0.34052437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942579665298109 × 6371000     		do = 287.828040032327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75232170--0.75227377) × cos(0.34047918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942594756955065 × 6371000     		du = 287.832648451332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34052437)-sin(0.34047918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942579665298109-0.942594756955065)×R²
    abs(-0.75227377--0.75232170)×1.50916569565673e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50916569565673e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50916569565673e-05×40589641000000     		ar = 82867.9363100005m²