Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49841 / 58223
↖ ↑ ↗
← N 19.686557°
W 43.107605°		 ← 287.57 m → N 19.686557°
W 43.104858°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.683970°
W 43.107605°		 ← 287.58 m →
82 703 m²		 N 19.683970°
W 43.104858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380260467529297 y=0.444210052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380260467529297 × 217)
    floor (0.380260467529297 × 131072)
    floor (49841.5)     		tx = 49841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444210052490234 × 217)
    floor (0.444210052490234 × 131072)
    floor (58223.5)     		ty = 58223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49841 / 58223 ti = "17/49841/58223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49841/58223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49841 ÷ 217
    49841 ÷ 131072     		x = 0.380256652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58223 ÷ 217
    58223 ÷ 131072     		y = 0.444206237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380256652832031 × 2 - 1) × π
    -0.239486694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75236964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444206237792969 × 2 - 1) × π
    0.111587524414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.350562546921471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75236964} λ = -0.75236964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350562546921471))-π/2
    2×atan(1.41986606525456)-π/2
    2×0.957195776300016-π/2
    1.91439155260003-1.57079632675     		φ = 0.34359523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75236964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.107605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34359523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.686557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49841 KachelY 58223 -0.75236964 0.34359523 -43.107605 19.686557
    Oben rechts KachelX + 1 49842 KachelY 58223 -0.75232170 0.34359523 -43.104858 19.686557
    Unten links KachelX 49841 KachelY + 1 58224 -0.75236964 0.34355009 -43.107605 19.683970
    Unten rechts KachelX + 1 49842 KachelY + 1 58224 -0.75232170 0.34355009 -43.104858 19.683970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34359523-0.34355009) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34359523-0.34355009) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75236964--0.75232170) × cos(0.34359523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941549612447557 × 6371000     		do = 287.57348712832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75236964--0.75232170) × cos(0.34355009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941564817996425 × 6371000     		du = 287.578131294335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34359523)-sin(0.34355009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941549612447557-0.941564817996425)×R²
    abs(-0.75232170--0.75236964)×1.52055488679137e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52055488679137e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52055488679137e-05×40589641000000     		ar = 82703.047003136m²