Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49840 / 84405
↖ ↑ ↗
← S 45.930140°
W 43.110352°		 ← 212.43 m → S 45.930140°
W 43.107605°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
S 45.932050°
W 43.110352°		 ← 212.43 m →
45 122 m²		 S 45.932050°
W 43.107605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380252838134766 y=0.643962860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380252838134766 × 217)
    floor (0.380252838134766 × 131072)
    floor (49840.5)     		tx = 49840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643962860107422 × 217)
    floor (0.643962860107422 × 131072)
    floor (84405.5)     		ty = 84405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49840 / 84405 ti = "17/49840/84405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49840/84405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49840 ÷ 217
    49840 ÷ 131072     		x = 0.3802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84405 ÷ 217
    84405 ÷ 131072     		y = 0.643959045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75241758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643959045410156 × 2 - 1) × π
    -0.287918090820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.90452135893084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75241758} λ = -0.75241758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90452135893084))-π/2
    2×atan(0.40473556181054)-π/2
    2×0.38458207995035-π/2
    0.769164159900701-1.57079632675     		φ = -0.80163217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75241758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.110352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80163217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.930140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49840 KachelY 84405 -0.75241758 -0.80163217 -43.110352 -45.930140
    Oben rechts KachelX + 1 49841 KachelY 84405 -0.75236964 -0.80163217 -43.107605 -45.930140
    Unten links KachelX 49840 KachelY + 1 84406 -0.75241758 -0.80166551 -43.110352 -45.932050
    Unten rechts KachelX + 1 49841 KachelY + 1 84406 -0.75236964 -0.80166551 -43.107605 -45.932050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80163217--0.80166551) × R
    3.33399999999928e-05 × 6371000     		dl = 212.409139999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80163217--0.80166551) × R
    3.33399999999928e-05 × 6371000     		dr = 212.409139999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75241758--0.75236964) × cos(-0.80163217) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.69553493477035 × 6371000     		do = 212.434272148439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75241758--0.75236964) × cos(-0.80166551) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695510979851221 × 6371000     		du = 212.426955699537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80163217)-sin(-0.80166551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69553493477035-0.695510979851221)×R²
    abs(-0.75236964--0.75241758)×2.39549191294319e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39549191294319e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39549191294319e-05×40589641000000     		ar = 45122.2040173889m²