Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49840 / 58224
↖ ↑ ↗
← N 19.683970°
W 43.110352°		 ← 287.58 m → N 19.683970°
W 43.107605°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.681384°
W 43.110352°		 ← 287.58 m →
82 704 m²		 N 19.681384°
W 43.107605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380252838134766 y=0.444217681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380252838134766 × 217)
    floor (0.380252838134766 × 131072)
    floor (49840.5)     		tx = 49840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444217681884766 × 217)
    floor (0.444217681884766 × 131072)
    floor (58224.5)     		ty = 58224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49840 / 58224 ti = "17/49840/58224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49840/58224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49840 ÷ 217
    49840 ÷ 131072     		x = 0.3802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58224 ÷ 217
    58224 ÷ 131072     		y = 0.4442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75241758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    0.111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.350514610021851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75241758} λ = -0.75241758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350514610021851))-π/2
    2×atan(1.41979800290888)-π/2
    2×0.957173208633141-π/2
    1.91434641726628-1.57079632675     		φ = 0.34355009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75241758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.110352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34355009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.683970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49840 KachelY 58224 -0.75241758 0.34355009 -43.110352 19.683970
    Oben rechts KachelX + 1 49841 KachelY 58224 -0.75236964 0.34355009 -43.107605 19.683970
    Unten links KachelX 49840 KachelY + 1 58225 -0.75241758 0.34350495 -43.110352 19.681384
    Unten rechts KachelX + 1 49841 KachelY + 1 58225 -0.75236964 0.34350495 -43.107605 19.681384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34355009-0.34350495) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34355009-0.34350495) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75241758--0.75236964) × cos(0.34355009) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941564817996425 × 6371000     		do = 287.578131295001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75241758--0.75236964) × cos(0.34350495) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941580021626741 × 6371000     		du = 287.582774875041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34355009)-sin(0.34350495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941564817996425-0.941580021626741)×R²
    abs(-0.75236964--0.75241758)×1.5203630316929e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5203630316929e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5203630316929e-05×40589641000000     		ar = 82704.3825206327m²