Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4984 / 5182
↖ ↑ ↗
← S 43.004647°
E 39.023438°		 ← 3 573.48 m → S 43.004647°
E 39.067383°		 →
↑
3 572.54 m
↓
↑
3 572.54 m
↓
S 43.036776°
E 39.023438°		 ← 3 571.62 m →
12 763 071 m²		 S 43.036776°
E 39.067383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60845947265625 y=0.63262939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60845947265625 × 213)
    floor (0.60845947265625 × 8192)
    floor (4984.5)     		tx = 4984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63262939453125 × 213)
    floor (0.63262939453125 × 8192)
    floor (5182.5)     		ty = 5182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4984 / 5182 ti = "13/4984/5182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4984/5182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4984 ÷ 213
    4984 ÷ 8192     		x = 0.6083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5182 ÷ 213
    5182 ÷ 8192     		y = 0.632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6083984375 × 2 - 1) × π
    0.216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68108747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.832951567798096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68108747} λ = 0.68108747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832951567798096))-π/2
    2×atan(0.434764154799034)-π/2
    2×0.410111820386986-π/2
    0.820223640773972-1.57079632675     		φ = -0.75057269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68108747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75057269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.004647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4984 KachelY 5182 0.68108747 -0.75057269 39.023438 -43.004647
    Oben rechts KachelX + 1 4985 KachelY 5182 0.68185446 -0.75057269 39.067383 -43.004647
    Unten links KachelX 4984 KachelY + 1 5183 0.68108747 -0.75113344 39.023438 -43.036776
    Unten rechts KachelX + 1 4985 KachelY + 1 5183 0.68185446 -0.75113344 39.067383 -43.036776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75057269--0.75113344) × R
    0.000560749999999999 × 6371000     		dl = 3572.53824999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75057269--0.75113344) × R
    0.000560749999999999 × 6371000     		dr = 3572.53824999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68108747-0.68185446) × cos(-0.75057269) × R
    0.000766990000000023 × 0.731298381206282 × 6371000     		do = 3573.48463275247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68108747-0.68185446) × cos(-0.75113344) × R
    0.000766990000000023 × 0.730915802407826 × 6371000     		du = 3571.61516402091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75057269)-sin(-0.75113344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731298381206282-0.730915802407826)×R²
    abs(0.68185446-0.68108747)×0.000382578798456379×R²
    0.000766990000000023×0.000382578798456379×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382578798456379×40589641000000     		ar = 12763071.4964575m²