Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4984 / 2423
↖ ↑ ↗
← N 77.508872°
W 70.488281°		 ← 528.44 m → N 77.508872°
W 70.466309°		 →
↑
528.54 m
↓
↑
528.54 m
↓
N 77.504119°
W 70.488281°		 ← 528.64 m →
279 353 m²		 N 77.504119°
W 70.466309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304229736328125 y=0.147918701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304229736328125 × 214)
    floor (0.304229736328125 × 16384)
    floor (4984.5)     		tx = 4984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147918701171875 × 214)
    floor (0.147918701171875 × 16384)
    floor (2423.5)     		ty = 2423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4984 / 2423 ti = "14/4984/2423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4984/2423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4984 ÷ 214
    4984 ÷ 16384     		x = 0.30419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2423 ÷ 214
    2423 ÷ 16384     		y = 0.14788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    -0.3916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23025259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14788818359375 × 2 - 1) × π
    0.7042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21238379126483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23025259} λ = -1.23025259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21238379126483))-π/2
    2×atan(9.13747227859344)-π/2
    2×1.46179067571446-π/2
    2.92358135142892-1.57079632675     		φ = 1.35278502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23025259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35278502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.508872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4984 KachelY 2423 -1.23025259 1.35278502 -70.488281 77.508872
    Oben rechts KachelX + 1 4985 KachelY 2423 -1.22986910 1.35278502 -70.466309 77.508872
    Unten links KachelX 4984 KachelY + 1 2424 -1.23025259 1.35270206 -70.488281 77.504119
    Unten rechts KachelX + 1 4985 KachelY + 1 2424 -1.22986910 1.35270206 -70.466309 77.504119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35278502-1.35270206) × R
    8.29600000000763e-05 × 6371000     		dl = 528.538160000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35278502-1.35270206) × R
    8.29600000000763e-05 × 6371000     		dr = 528.538160000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23025259--1.22986910) × cos(1.35278502) × R
    0.000383490000000153 × 0.216288432195662 × 6371000     		do = 528.439096446564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23025259--1.22986910) × cos(1.35270206) × R
    0.000383490000000153 × 0.216369427747516 × 6371000     		du = 528.636985976778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35278502)-sin(1.35270206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216288432195662-0.216369427747516)×R²
    abs(-1.22986910--1.23025259)×8.09955518542016e-05×R²
    0.000383490000000153×8.09955518542016e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.09955518542016e-05×40589641000000     		ar = 279352.523952902m²