Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49839 / 84404
↖ ↑ ↗
← S 45.928229°
W 43.113098°		 ← 212.40 m → S 45.928229°
W 43.110352°		 →
↑
212.47 m
↓
↑
212.47 m
↓
S 45.930140°
W 43.113098°		 ← 212.39 m →
45 128 m²		 S 45.930140°
W 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380245208740234 y=0.643955230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380245208740234 × 217)
    floor (0.380245208740234 × 131072)
    floor (49839.5)     		tx = 49839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643955230712891 × 217)
    floor (0.643955230712891 × 131072)
    floor (84404.5)     		ty = 84404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49839 / 84404 ti = "17/49839/84404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49839/84404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49839 ÷ 217
    49839 ÷ 131072     		x = 0.380241394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84404 ÷ 217
    84404 ÷ 131072     		y = 0.643951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380241394042969 × 2 - 1) × π
    -0.239517211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75246551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.28790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.904473422031219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75246551} λ = -0.75246551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904473422031219))-π/2
    2×atan(0.404754964043577)-π/2
    2×0.384598751131671-π/2
    0.769197502263342-1.57079632675     		φ = -0.80159882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75246551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.113098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80159882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.928229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49839 KachelY 84404 -0.75246551 -0.80159882 -43.113098 -45.928229
    Oben rechts KachelX + 1 49840 KachelY 84404 -0.75241758 -0.80159882 -43.110352 -45.928229
    Unten links KachelX 49839 KachelY + 1 84405 -0.75246551 -0.80163217 -43.113098 -45.930140
    Unten rechts KachelX + 1 49840 KachelY + 1 84405 -0.75241758 -0.80163217 -43.110352 -45.930140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80159882--0.80163217) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dl = 212.472849999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80159882--0.80163217) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dr = 212.472849999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75246551--0.75241758) × cos(-0.80159882) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.695558896101045 × 6371000     		do = 212.397276497612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75246551--0.75241758) × cos(-0.80163217) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.69553493477035 × 6371000     		du = 212.38995961703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80159882)-sin(-0.80163217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695558896101045-0.69553493477035)×R²
    abs(-0.75241758--0.75246551)×2.39613306944886e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39613306944886e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39613306944886e-05×40589641000000     		ar = 45127.8773545616m²