Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49839 / 58323
↖ ↑ ↗
← N 19.427744°
W 43.113098°		 ← 287.98 m → N 19.427744°
W 43.110352°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 19.425154°
W 43.113098°		 ← 287.98 m →
82 947 m²		 N 19.425154°
W 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380245208740234 y=0.444972991943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380245208740234 × 217)
    floor (0.380245208740234 × 131072)
    floor (49839.5)     		tx = 49839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444972991943359 × 217)
    floor (0.444972991943359 × 131072)
    floor (58323.5)     		ty = 58323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49839 / 58323 ti = "17/49839/58323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49839/58323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49839 ÷ 217
    49839 ÷ 131072     		x = 0.380241394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58323 ÷ 217
    58323 ÷ 131072     		y = 0.444969177246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380241394042969 × 2 - 1) × π
    -0.239517211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75246551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444969177246094 × 2 - 1) × π
    0.110061645507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.345768856959465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75246551} λ = -0.75246551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345768856959465))-π/2
    2×atan(1.41307595539365)-π/2
    2×0.954937212351124-π/2
    1.90987442470225-1.57079632675     		φ = 0.33907810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75246551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.113098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33907810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.427744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49839 KachelY 58323 -0.75246551 0.33907810 -43.113098 19.427744
    Oben rechts KachelX + 1 49840 KachelY 58323 -0.75241758 0.33907810 -43.110352 19.427744
    Unten links KachelX 49839 KachelY + 1 58324 -0.75246551 0.33903289 -43.113098 19.425154
    Unten rechts KachelX + 1 49840 KachelY + 1 58324 -0.75241758 0.33903289 -43.110352 19.425154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33907810-0.33903289) × R
    4.52100000000177e-05 × 6371000     		dl = 288.032910000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33907810-0.33903289) × R
    4.52100000000177e-05 × 6371000     		dr = 288.032910000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75246551--0.75241758) × cos(0.33907810) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.943061706611659 × 6371000     		do = 287.97523714571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75246551--0.75241758) × cos(0.33903289) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.94307674329974 × 6371000     		du = 287.979828779307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33907810)-sin(0.33903289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943061706611659-0.94307674329974)×R²
    abs(-0.75241758--0.75246551)×1.5036688081449e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5036688081449e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5036688081449e-05×40589641000000     		ar = 82947.0068480035m²