Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49839 / 58317
↖ ↑ ↗
← N 19.443284°
W 43.113098°		 ← 287.95 m → N 19.443284°
W 43.110352°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.440695°
W 43.113098°		 ← 287.95 m →
82 921 m²		 N 19.440695°
W 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380245208740234 y=0.444927215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380245208740234 × 217)
    floor (0.380245208740234 × 131072)
    floor (49839.5)     		tx = 49839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444927215576172 × 217)
    floor (0.444927215576172 × 131072)
    floor (58317.5)     		ty = 58317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49839 / 58317 ti = "17/49839/58317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49839/58317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49839 ÷ 217
    49839 ÷ 131072     		x = 0.380241394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58317 ÷ 217
    58317 ÷ 131072     		y = 0.444923400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380241394042969 × 2 - 1) × π
    -0.239517211914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75246551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444923400878906 × 2 - 1) × π
    0.110153198242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.346056478357185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75246551} λ = -0.75246551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346056478357185))-π/2
    2×atan(1.41348244472974)-π/2
    2×0.955072828225504-π/2
    1.91014565645101-1.57079632675     		φ = 0.33934933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75246551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.113098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33934933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.443284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49839 KachelY 58317 -0.75246551 0.33934933 -43.113098 19.443284
    Oben rechts KachelX + 1 49840 KachelY 58317 -0.75241758 0.33934933 -43.110352 19.443284
    Unten links KachelX 49839 KachelY + 1 58318 -0.75246551 0.33930413 -43.113098 19.440695
    Unten rechts KachelX + 1 49840 KachelY + 1 58318 -0.75241758 0.33930413 -43.110352 19.440695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33934933-0.33930413) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33934933-0.33930413) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75246551--0.75241758) × cos(0.33934933) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.942971455991581 × 6371000     		do = 287.947678033154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75246551--0.75241758) × cos(0.33930413) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.942986500915005 × 6371000     		du = 287.952272181512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33934933)-sin(0.33930413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942971455991581-0.942986500915005)×R²
    abs(-0.75241758--0.75246551)×1.5044923424079e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5044923424079e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5044923424079e-05×40589641000000     		ar = 82920.7239857971m²