Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49835 / 80527
↖ ↑ ↗
← S 38.028622°
W 43.124084°		 ← 240.58 m → S 38.028622°
W 43.121338°		 →
↑
240.57 m
↓
↑
240.57 m
↓
S 38.030786°
W 43.124084°		 ← 240.58 m →
57 876 m²		 S 38.030786°
W 43.121338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380214691162109 y=0.614376068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380214691162109 × 217)
    floor (0.380214691162109 × 131072)
    floor (49835.5)     		tx = 49835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614376068115234 × 217)
    floor (0.614376068115234 × 131072)
    floor (80527.5)     		ty = 80527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49835 / 80527 ti = "17/49835/80527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49835/80527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49835 ÷ 217
    49835 ÷ 131072     		x = 0.380210876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80527 ÷ 217
    80527 ÷ 131072     		y = 0.614372253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380210876464844 × 2 - 1) × π
    -0.239578247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75265726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614372253417969 × 2 - 1) × π
    -0.228744506835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.718622062204262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75265726} λ = -0.75265726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718622062204262))-π/2
    2×atan(0.487423432604255)-π/2
    2×0.453535829410196-π/2
    0.907071658820393-1.57079632675     		φ = -0.66372467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75265726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.124084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66372467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.028622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49835 KachelY 80527 -0.75265726 -0.66372467 -43.124084 -38.028622
    Oben rechts KachelX + 1 49836 KachelY 80527 -0.75260932 -0.66372467 -43.121338 -38.028622
    Unten links KachelX 49835 KachelY + 1 80528 -0.75265726 -0.66376243 -43.124084 -38.030786
    Unten rechts KachelX + 1 49836 KachelY + 1 80528 -0.75260932 -0.66376243 -43.121338 -38.030786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66372467--0.66376243) × R
    3.77599999999978e-05 × 6371000     		dl = 240.568959999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66372467--0.66376243) × R
    3.77599999999978e-05 × 6371000     		dr = 240.568959999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75265726--0.75260932) × cos(-0.66372467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787703098991994 × 6371000     		do = 240.584801909765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75265726--0.75260932) × cos(-0.66376243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787679836191653 × 6371000     		du = 240.577696851757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66372467)-sin(-0.66376243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787703098991994-0.787679836191653)×R²
    abs(-0.75260932--0.75265726)×2.32628003412616e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32628003412616e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32628003412616e-05×40589641000000     		ar = 57876.3809657981m²