Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49835 / 58220
↖ ↑ ↗
← N 19.694314°
W 43.124084°		 ← 287.56 m → N 19.694314°
W 43.121338°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.691728°
W 43.124084°		 ← 287.56 m →
82 699 m²		 N 19.691728°
W 43.121338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380214691162109 y=0.444187164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380214691162109 × 217)
    floor (0.380214691162109 × 131072)
    floor (49835.5)     		tx = 49835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444187164306641 × 217)
    floor (0.444187164306641 × 131072)
    floor (58220.5)     		ty = 58220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49835 / 58220 ti = "17/49835/58220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49835/58220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49835 ÷ 217
    49835 ÷ 131072     		x = 0.380210876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58220 ÷ 217
    58220 ÷ 131072     		y = 0.444183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380210876464844 × 2 - 1) × π
    -0.239578247070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75265726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    0.11163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.350706357620331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75265726} λ = -0.75265726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350706357620331))-π/2
    2×atan(1.42007027186889)-π/2
    2×0.957263477113865-π/2
    1.91452695422773-1.57079632675     		φ = 0.34373063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75265726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.124084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34373063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.694314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49835 KachelY 58220 -0.75265726 0.34373063 -43.124084 19.694314
    Oben rechts KachelX + 1 49836 KachelY 58220 -0.75260932 0.34373063 -43.121338 19.694314
    Unten links KachelX 49835 KachelY + 1 58221 -0.75265726 0.34368549 -43.124084 19.691728
    Unten rechts KachelX + 1 49836 KachelY + 1 58221 -0.75260932 0.34368549 -43.121338 19.691728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34373063-0.34368549) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34373063-0.34368549) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75265726--0.75260932) × cos(0.34373063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941503991029994 × 6371000     		do = 287.559553173101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75265726--0.75260932) × cos(0.34368549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941519202333479 × 6371000     		du = 287.564199096724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34373063)-sin(0.34368549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941503991029994-0.941519202333479)×R²
    abs(-0.75260932--0.75265726)×1.52113034846968e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52113034846968e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52113034846968e-05×40589641000000     		ar = 82699.0400323293m²