Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49834 / 80526
↖ ↑ ↗
← S 38.026459°
W 43.126831°		 ← 240.59 m → S 38.026459°
W 43.124084°		 →
↑
240.57 m
↓
↑
240.57 m
↓
S 38.028622°
W 43.126831°		 ← 240.58 m →
57 878 m²		 S 38.028622°
W 43.124084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380207061767578 y=0.614368438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380207061767578 × 217)
    floor (0.380207061767578 × 131072)
    floor (49834.5)     		tx = 49834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614368438720703 × 217)
    floor (0.614368438720703 × 131072)
    floor (80526.5)     		ty = 80526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49834 / 80526 ti = "17/49834/80526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49834/80526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49834 ÷ 217
    49834 ÷ 131072     		x = 0.380203247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80526 ÷ 217
    80526 ÷ 131072     		y = 0.614364624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380203247070312 × 2 - 1) × π
    -0.239593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75270520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614364624023438 × 2 - 1) × π
    -0.228729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.718574125304642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75270520} λ = -0.75270520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718574125304642))-π/2
    2×atan(0.487446798732462)-π/2
    2×0.453554709711198-π/2
    0.907109419422396-1.57079632675     		φ = -0.66368691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75270520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.126831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66368691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.026459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49834 KachelY 80526 -0.75270520 -0.66368691 -43.126831 -38.026459
    Oben rechts KachelX + 1 49835 KachelY 80526 -0.75265726 -0.66368691 -43.124084 -38.026459
    Unten links KachelX 49834 KachelY + 1 80527 -0.75270520 -0.66372467 -43.126831 -38.028622
    Unten rechts KachelX + 1 49835 KachelY + 1 80527 -0.75265726 -0.66372467 -43.124084 -38.028622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66368691--0.66372467) × R
    3.77599999999978e-05 × 6371000     		dl = 240.568959999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66368691--0.66372467) × R
    3.77599999999978e-05 × 6371000     		dr = 240.568959999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75270520--0.75265726) × cos(-0.66368691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787726360669215 × 6371000     		do = 240.591906624744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75270520--0.75265726) × cos(-0.66372467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787703098991994 × 6371000     		du = 240.584801909765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66368691)-sin(-0.66372467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787726360669215-0.787703098991994)×R²
    abs(-0.75265726--0.75270520)×2.3261677220332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3261677220332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3261677220332e-05×40589641000000     		ar = 57878.0901809693m²