Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49832 / 58408
↖ ↑ ↗
← N 19.207429°
W 43.132324°		 ← 288.42 m → N 19.207429°
W 43.129577°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 19.204835°
W 43.132324°		 ← 288.43 m →
83 186 m²		 N 19.204835°
W 43.129577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380191802978516 y=0.445621490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380191802978516 × 217)
    floor (0.380191802978516 × 131072)
    floor (49832.5)     		tx = 49832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445621490478516 × 217)
    floor (0.445621490478516 × 131072)
    floor (58408.5)     		ty = 58408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49832 / 58408 ti = "17/49832/58408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49832/58408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49832 ÷ 217
    49832 ÷ 131072     		x = 0.38018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58408 ÷ 217
    58408 ÷ 131072     		y = 0.44561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.2396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75280107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44561767578125 × 2 - 1) × π
    0.1087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.34169422049176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75280107} λ = -0.75280107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34169422049176))-π/2
    2×atan(1.40732989906948)-π/2
    2×0.953014597709919-π/2
    1.90602919541984-1.57079632675     		φ = 0.33523287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75280107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.132324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33523287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.207429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49832 KachelY 58408 -0.75280107 0.33523287 -43.132324 19.207429
    Oben rechts KachelX + 1 49833 KachelY 58408 -0.75275313 0.33523287 -43.129577 19.207429
    Unten links KachelX 49832 KachelY + 1 58409 -0.75280107 0.33518760 -43.132324 19.204835
    Unten rechts KachelX + 1 49833 KachelY + 1 58409 -0.75275313 0.33518760 -43.129577 19.204835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33523287-0.33518760) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dl = 288.415170000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33523287-0.33518760) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dr = 288.415170000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75280107--0.75275313) × cos(0.33523287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944333723549799 × 6371000     		do = 288.423826321964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75280107--0.75275313) × cos(0.33518760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944348615918062 × 6371000     		du = 288.428374834561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33523287)-sin(0.33518760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944333723549799-0.944348615918062)×R²
    abs(-0.75275313--0.75280107)×1.48923682625757e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48923682625757e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48923682625757e-05×40589641000000     		ar = 83186.4628450055m²