Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49831 / 57944
↖ ↑ ↗
← N 20.406421°
W 43.135071°		 ← 286.26 m → N 20.406421°
W 43.132324°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
N 20.403846°
W 43.135071°		 ← 286.26 m →
81 942 m²		 N 20.403846°
W 43.132324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380184173583984 y=0.442081451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380184173583984 × 217)
    floor (0.380184173583984 × 131072)
    floor (49831.5)     		tx = 49831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442081451416016 × 217)
    floor (0.442081451416016 × 131072)
    floor (57944.5)     		ty = 57944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49831 / 57944 ti = "17/49831/57944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49831/57944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49831 ÷ 217
    49831 ÷ 131072     		x = 0.380180358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57944 ÷ 217
    57944 ÷ 131072     		y = 0.44207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380180358886719 × 2 - 1) × π
    -0.239639282226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.75284901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44207763671875 × 2 - 1) × π
    0.1158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363936941915466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75284901} λ = -0.75284901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363936941915466))-π/2
    2×atan(1.43898347175565)-π/2
    2×0.963477776309446-π/2
    1.92695555261889-1.57079632675     		φ = 0.35615923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75284901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.135071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35615923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.406421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49831 KachelY 57944 -0.75284901 0.35615923 -43.135071 20.406421
    Oben rechts KachelX + 1 49832 KachelY 57944 -0.75280107 0.35615923 -43.132324 20.406421
    Unten links KachelX 49831 KachelY + 1 57945 -0.75284901 0.35611430 -43.135071 20.403846
    Unten rechts KachelX + 1 49832 KachelY + 1 57945 -0.75280107 0.35611430 -43.132324 20.403846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35615923-0.35611430) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dl = 286.249029999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35615923-0.35611430) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dr = 286.249029999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75284901--0.75280107) × cos(0.35615923) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937242921719243 × 6371000     		do = 286.258112926337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75284901--0.75280107) × cos(0.35611430) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937258586834406 × 6371000     		du = 286.262897455728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35615923)-sin(0.35611430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937242921719243-0.937258586834406)×R²
    abs(-0.75280107--0.75284901)×1.56651151630438e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.56651151630438e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.56651151630438e-05×40589641000000     		ar = 81941.7919520554m²