Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49829 / 58212
↖ ↑ ↗
← N 19.715000°
W 43.140564°		 ← 287.46 m → N 19.715000°
W 43.137818°		 →
↑
287.52 m
↓
↑
287.52 m
↓
N 19.712415°
W 43.140564°		 ← 287.47 m →
82 653 m²		 N 19.712415°
W 43.137818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380168914794922 y=0.444126129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380168914794922 × 217)
    floor (0.380168914794922 × 131072)
    floor (49829.5)     		tx = 49829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444126129150391 × 217)
    floor (0.444126129150391 × 131072)
    floor (58212.5)     		ty = 58212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49829 / 58212 ti = "17/49829/58212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49829/58212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49829 ÷ 217
    49829 ÷ 131072     		x = 0.380165100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58212 ÷ 217
    58212 ÷ 131072     		y = 0.444122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380165100097656 × 2 - 1) × π
    -0.239669799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75294488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444122314453125 × 2 - 1) × π
    0.11175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.351089852817291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75294488} λ = -0.75294488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351089852817291))-π/2
    2×atan(1.4206149664347)-π/2
    2×0.957443996574057-π/2
    1.91488799314811-1.57079632675     		φ = 0.34409167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75294488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.140564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34409167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.715000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49829 KachelY 58212 -0.75294488 0.34409167 -43.140564 19.715000
    Oben rechts KachelX + 1 49830 KachelY 58212 -0.75289695 0.34409167 -43.137818 19.715000
    Unten links KachelX 49829 KachelY + 1 58213 -0.75294488 0.34404654 -43.140564 19.712415
    Unten rechts KachelX + 1 49830 KachelY + 1 58213 -0.75289695 0.34404654 -43.137818 19.712415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34409167-0.34404654) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dl = 287.523230000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34409167-0.34404654) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dr = 287.523230000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75294488--0.75289695) × cos(0.34409167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941382258528691 × 6371000     		do = 287.462397470482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75294488--0.75289695) × cos(0.34404654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941397481802331 × 6371000     		du = 287.467046080224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34409167)-sin(0.34404654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941382258528691-0.941397481802331)×R²
    abs(-0.75289695--0.75294488)×1.52232736405633e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52232736405633e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52232736405633e-05×40589641000000     		ar = 82652.7853298959m²